Hogyan tudnám alkalmazni a hátértékszámítást és a deriválást a fizikában?

Egy nagyon szép terület (persze van ennél egyszerűbb is) az űrtechnikában a pályagörbe-számítások. A ballisztika is jól tudja használni a differenciálegyenleteket.

Dinamikában a lengéstan alapja a vektoranalízis, az meg parciális diffegyenletek nélkül nem működik.

A szilárdságtanban is lényeges lehet, ott már az integrálszámítással együtt.

De rengeteg terület lehet, fel sem lehet sorolni, még közelítőleg se.

Szia!

A fizikában és más tudományokban is (nem gimis szinten) differenciálegyenletek nagyon-nagyon gyakran használnak. Ezek olyan egyenletek, amikben egyszerre megjelenik mondjuk egy x=f(t) mennyiség és ennek az elsőrendű deriváltja dx/dt.

S akkor egy egyszerű példa: ugye ott van a sebesség kifejezése, amit úgy tanultatok, hogy v=deltax/deltat. Ha már megértetted a deriválás lényegét, beláthatod, hogy ez pont az. Ha a deltat-t végtelenül kicsire (infinitezimálisra) választod, akkor megkapod a pillanatnyi sebességet, ami nem más, mint a megtett út idő szerinti deriváltja. Tehát írható, hogy v=dx/dt, ahol x a helyzetkoordináta és az úttörvénnyel megadható az idő függvényében x=f(t). Ilyen módon, a gyorsulás nem más, mint a helyzetkoordináta másodrendű idő szerinti deriváltja (azaz kétszer kell deriválni az úttörvényt).

Remélem érthető voltam. Ezt egyetemen biztos megtanítják majd, főleg, ha gimiben nem tanultok deriválást.

Tényleg, Mo-n érettségi előtt semmilyen osztályban nem tanítanak határértéket számolni, deriválni, integrálni?

Nézzünk egyszerűbb gyakorlati példát.

Ejtőernyős zuhan. Adott a légellenállása, vagyis a cv-értéke. Maga a levegő által kifejtett ellenállás erőben számítható a légsűrűség és a sebesség függvényében. ahogy gyorsul estében, az erőben mért légellenállás növekszik, egész addig, amíg ki nem egyenlíti a súlyerőt, innentől az ejtőernyős állandó sebességgel esik.

Ha felírod azt a képletet, ami tartalmazza mindezt a sebességre kifejezve, kiszámolhatod a sebesség maximumát egy deriválás után.

A légellenállásos példa azért nem jó, mert a maximális sebesség kiszámításához semmiféle differenciálszámítás nem kell. a teljes mozgás kiszámításához meg differenciálegyenletek kellenek, ami a kérdezőnek még nyilván túl bonyolult.

Ami a kérdezőnek hasznos lehet, az inkább ilyesmi:

Ismerjük egy test helyzetét az idő függvényében. Pl:

x= t^3-t^2

x= sin(5t)

x= e^(t-2)

Írjuk fel a test sebességét és gyorsulását az idő függvényében.

Pusztán differenciálással ennél bonyolultabb problémákat nem nagyon lehet megoldani.

De van esetleg még egy, amit meg lehet, de ehhez már kell egy kis ügyesség:

Vezesd le a fénytörés törvényét a Fermat-elvből.

A deriválást valóban alkalmazhatod azokra az esetekre, melyeket említettek.

A mozgástörvény kapcsán, pl. harmonikus rezgőmozgásra megtanítanak neked minimum 3 képletet:

y(t)=A*sin(wt+fi)

v(t)=...

a(t)=...

Elég csak az y(t) -t tudnod fejből, a másik kettőt bármikor származtathatod deriválással.

Aztán igen gyakran kell szélsőértéket számítani, optimalizálás céljából:

Pl: Snellius-Descartes törvény: Thomas kalkulusban van egy nagyon szép levezetés, hogy hogyan jön ki a törési törvény.

Vagy pl. Egyenáramkörben van egy telep meg fogyasztó, mekkora legyen a terhelő ellenállás, hogy a max teljesítményt tudd levenni...

Még hosszasan lehetne sorolni, a deriválás alkalmazása szinte kimeríthetetlen.

De igazából a diffegyenletek azok, melyek számtalan problémához szükségesek, ezekről majd bizonyára tanulsz a későbbiekben, leírni hosszú lenne, még nem értenéd.