Hogyan vezethető le az s=A*t^2 képlet?

Mert a t^2 függvény képe egy parabola. Az A az egy általános, összevont tag, ami a gyorsulást befolyásoló tényezőket számszerűsíti (pl. ha egy lejtőről gurítunk le egy golyót, az egyenletesen gyorsul és az A jellemezheti a lejtő meredekségét, a súrlódást).

Nem vagyok valami jó fizikából, de szerintem nem mondtam nagy butaságot és biztos lesz valaki, aki jobban el tudja magyarázni.

A fizikában - ahogy másban is - a dolgok törvények szerint történnek. A jelenségeket az ember különféle kísérletekkel vizsgálja, és próbál valamilyen szabályt kitalálni, hogy a jövőbeli eseményekre is képes legyen következtetni.

A mozgás és az erő viszonya az egyik alapesete a fizikának, nagyon régóta vizsgálják. Elég hamar megállapították, hogy a test gyorsulásához erő kell. Azt is meghatározták, hogy adott út megtétele egyenesen arányos a test sebességével és az eltelt idővel. Sok kísérlet igazolja ezt, és egy sem tudja cáfolni. Ezért igaz az "s=v*t" képlet. Azt is megállapították, hogy állandó erő állandó gyorsulást eredményez, és a sebesség növekedése állandó gyorsulás mellett arányos az idő múlásával, vagyis érvényes a "v=a*t" összefüggés. Ezután mindössze az első összefüggésben a "v" helyébe be kell írni a második összefüggést, és megkapjuk a kérdezett képletet. Vagyis azt állapíthatjuk meg, hogy állandó erő alkalmazásakor állandó gyorsulással mozog egy test, és eközben a megtett útja az eltelt idő négyzetével arányos.

Természetesen mindig minden körülményt figyelembe kell venni. Például egy enyhe, de érdes lejtőn a rátett kocka nem mozog. Pedig hat rá a gravitációs erő. De nem szabad figyelmen kívül hagyni, hogy mozgó testre súrlódási erő is hat, ami a mozgás irányával ellentétes irányba hat. Ez meg ellentétes gyorsulást eredményez, a kettő pedig kioltja egymást, azaz a test áll.

"Ezért igaz az "s=v*t" képlet. Azt is megállapították, hogy [...] érvényes a "v=a*t" összefüggés. Ezután mindössze az első összefüggésben a "v" helyébe be kell írni a második összefüggést, és megkapjuk a kérdezett képletet. Vagyis azt állapíthatjuk meg, hogy állandó erő alkalmazásakor állandó gyorsulással mozog egy test, és eközben a megtett útja az eltelt idő négyzetével arányos."

És előző, ez így pont nem igaz. Egyenletesen változó mozgásnál a gyorsulás számításában a csúcssebességet használjuk fel, az út meghatározásánál pedig az átlagsebességet.

A két felírt összefüggésed (s=v*t, illetve v=a*t) külön-külön igaz, de ha egyiket a másikba helyettesíted egy olyan paradox mozgás által megtett utat számítasz ki, ami egyenletesen gyorsul, mégis annyi utat tesz meg, mintha a vizsgált időintervallumban elért csúcssebességével haladna végig. A két összefüggésben található "v" sebesség nem ugyanaz az érték.

Kedves gyakoriválasz2, sajnálom, ha nem értetted a választ. A kérdező kérdéséből az tételezhető fel, hogy az illetőnek fogalomproblémái vannak és egy alapvető fizikai jelenséget nem ért. Ilyenkor mindig bejön az a dilemma, ha precízen magyarázunk, az hallgató továbbra se érti, ha pongyolán, az értő kezdi ki. Én az utóbbit vállaltam. Azt próbáltam megértetni, miért függ az út négyzetesen az időtől, hiszen a kérdés erre irányult.

Természetesen egy gyorsuló mozgással megtett út kiszámítására sokféle módszer lehetséges, amennyiben pontosan kívánjuk adott feltételek mellett azt kiszámítani. Ezért a második bekezdésedben hiányolom az "is" szócskát. És tudom, hogy a pontos képlet: s=a/2*t^2. A következő válasz utalt rá, miért.

Bizonyára ismered azt az összefüggést, hogy v=s/t.

Namármost ez egyenesvonalú egyenletes mozgás esetére teljesen jó. Ahhoz, hogy más mozgásra is igaz legyen, módosítani kell, és úgy kell írni hogy:

v=delta(s)/delta(t)

Ahol én most delta(s) alatt egy igen kicsi útmegváltozást értek, delta(t) alatt pedig nagyon kicsi időközt.

Ha ezek mondjuk ilyen 10^-20 nagyságrendűek, akkora korrekt matematikai jelölés a következő:

v=ds/dt.

Delta helyett csak egyszerűen "d" betűt írunk, melynek jelentése, hogy különbségileg (differenciálisan) kicsiny, azak kb. kisebb mint 10^-20, (persze a matematikus azt mondaná, hogy tart a 0-hoz...)

Most edig ds-et fejezzük ki:

ds=v*dt

Vizsgálódjunk egy picit: A következő megállapítást tehetjük: A v sebesség az időtől függ, hiszen változik, ezért a korrekt jelölése: v=v(t), így összefüggésünk alakja:

ds=v(t)*dt.

Most észrevehetjük, hogy ha a v(t) diagramot tekíntjük, akkor a diagram alatti területet 1/(10^-20) kb. végtelen darab oszlopra bontottuk, melyek szélessége állandó, mégpedig dt, magasságuk pedig a mindenkori, t-től függő fv-érték, azaz v(t).

Azt is tudjuk, hogy nem ds-értéke érdekel bennünket (hisz ennek nagysága amúgy is önkényes volt) hanem az s értéke.

Kérdés: Hogy kapunk ds-ből s-et?

A megoldás persze az, hogy összeadjuk az összes létező, végtelen darab ds-et, tehát:

s=szumma(ds)=szumma(v(t)*dt)

(Aki tud integrálni, annak ebből már kézenfekvő a megoldás, tekintve hogy kérdező valószínűleg nem tud, más módszert választok).

Azt is tudjuk, hogy a sebesség egyeletesen változik (nő vagy csökken), tehát a diagram egy lineáris fv., az alatta lévő terület pedig:

s=v(max)*t/2 (ez =v(közepes)*t)

Hasonló gondolatmenettel: a=dv/dt,

amiből:

v(max)=a*t, ezt beírva a fenti képletbe:

s=a*t*t/2=at^2/2

Most pedig az A:=a/2 helyettesítéssel:

s=A*t^2

Amely a kérdés volt.

Az az igazság, hogy a pontos alak:

s=At^2+Bt+C.

Ha a B és C állandókat 0-nak vesszük, akkor kapjuk a te képletedet. Eddig is volt jó válasz, én egy másikat mondanék: Megméred jópárszor egy lejtőn leguruló test menetidejét, több különböző úthosszal, a kapott értékekre pedig görbét illesztesz.