Hogyan számoljuk ki egy kétváltozós függvény érintősíkját?

A gondolatmeneted alapjában véve jónak tűnik bár nem ellenőriztem le. Én az ilyen dolgokat mindig a vektorokkal támadom.

Ugye neked van egy F(x,y) függvényed és egy X és Y pontod amelyben az érintősíkra vagy kíváncsi.

Legyen Z := F(X, Y) // A függvény értéke a kérdéses pontban (számold ki).

Legyen F-nek x szerinti parciális deriváltja fx(x,y) függvány, a másik y szerinti parciális deriváltja pedig fy(x,y) függvény.

Legyen xm := fx(X, Y) // Tehát az x irányú meredekség (számold ki).

Legyen ym := fy(X, Y) // Tehát az y irányú meredekség (számold ki).

Szükségünk lesz két vektorra, amely megadja az x és y irányú érintő egyenes irányát. Ezek az érintő egyenesek a keresett érintősíkon vannak (ha elképzeled). Tehát...

Legyen vx := (1, 0, xm) // Tehát az x irányú érintő egyenes irányában mutató vektor.

Legyen vy := (0, 1, ym) // Tehát az y irányú érintő egyenes irányába mutató vektor.

Ez a két vektor a keresett érintősíkra fektethető. Síkot a normálvektorjával szoktunk megadni. Így ebből vektorból kell csinálnunk egy olyan vektort, amely merőleges a síkra. Egy ilyen vektort két a sík irányába mutató vektor keresztszorzatával kaphatunk, nekünk pedig pont ilyenünk van:

vx × vy = (-xm, -ym, 1)

(képletet keresztszorzatra a Wikipédiában találsz).

Ezen normálvektor segítségével felírható a sík egyenlete:

-xm * x - ym * y + z + D = 0

D-t egy ismert pont (a korábbi X, Y és Z) alapján kiszámíthatod, tehát levezeted ezt az egyenletet D-re:

-xm * X - ym * Y + Z + D = 0

És ezután kész is vagy.