Gauss-tétellel hogy lehet kiszámolni egy pontszerű töltés térerősségét végtelen síkban?

Síkban?

Térben: felveszel egy r sugarú gömböt, melynek felületén egyenletes a térerősség. Felírod a Gauss-tételt, a gömb elektromos fluxusát osztod a felületével, és megkapod az elektromos térerősséget a középponttól r távolságban.

A kérdésnek nagyon is van értelme és lényegében arról szól, hogy határozzuk meg, milyen lenne egy ponttöltés elektromos tere, ha a világunk csak két dimenziós lenne.

A 3D Gauss-tétel mintájára egy zárt térrész felületére, azaz jelen esetben egy kétdimenziós alakzat (pl. kör) vonalára kell kiintegrálni, amit a kétdimenziós Gauss-tétellel lehet megtenni. Eszerint egy centrális erőteret (E=Q*f(r)*e_r alakú térerősség, ahol e_r a sugár irányú egységvektor) kell kiintegrálni egy r sugarú kör egydimenziós "felületére", vagyis ennek eredménye Q*f(r)*2*r*pi lesz. A Gauss-tétel értelmében ez megegyezik a Q/epszilon_0 mennyiséggel (ezzel a választással egy mértékegységrendszert is rögzítünk), s ebből következően

f(r) = 1/(2*pi*epszilon_0*r), azaz

E(r) = Q/(2*pi*epszilon_0*r), ami a 3D-beli 1/r^2-es függés helyett csak egy 1/r-es függést jelent. A potenciál ennek megfelelően pedig logaritmikus lesz (szemben a 3D-beli 1/r-es függéssel).