Egy sor összegét miképpen tudom kiszámítani?

Általában a végtelen sorokat nem lehet összegezni, csak egy-egy speciális formájút. Ez is közéjük tartozik.

Egy kedvelt technika a teleszkópos összeg kialakítása: egy X_n tagot felírsz Y_n-Y_(n+1) alakban. Ekkor mi történik, ha az X_1+X_2+...+X_n részösszeget kiszámítod: Y_1-Y_2+Y_2-Y_3+Y_3-Y_4+...-Y_n+Y_n-Y_(n+1). Láthatod, hogy ez az összeg összerogy, mint egy teleszkóp, marad a két széle: Y_1-Y_n. Tehát, ha Y_n tart a 0-hoz, akkor az X_1+X_2+... végtelen sor összege definíció szerint Y_1.

Ez a technika ritkán használható, de akkor ütős és gyors (és mással nem is nagyon lehet boldogulni), tipikus példa rá az általad adott feladat.

Legyen a_1,a_2,...,a_n,... egy d differenciájú számtani sorozat (d = a_(n+1)-a_n), melyben nincs nulla, és szeretnéd összegezni az S=X_1+X_2+... végtelen sort, ahol X_n = 1/(a_n*a_(n+1)). A te példád is ilyen, a számtani sorozat kezdőszáma a_1 = 3*1-2, a differenciája 3.

A megoldás azt a trükköt használha ki, hogy 1/A-1/B = (B-A)/(AB). Ha ugyanis A és B egy számtani sorozat szomszédos elemei, akkor B-A=d konstans, és 1/A-1/B=d/(AB). Tehát X_n = 1/(a_n*a_(n+1)) = d/(a_n*a_(n+1)) /d = (1/a_n - 1/a_(n+1))/d = 1/(a_n*d) - 1/(a_(n+1)*d). Ezzel meg is van a teleszkópos felírásod: X_n = Y_n-Y_(n-1), ahol Y_n = 1/(a_n*d).

Tehát a sorod összege Y_1 = 1/(a_1*d), ezesetben 1/3. Általánosan: 1/(kezdőszám * differencia). Feltéve, hogy nincs nulla nevező

Másik példa: 1/(1*2) + 1/(2*3) + 1/(3*4) + ... = 1.

Megjegyzés: vannak bonyolultabb teleszkópok is. Pl.: S=X_1+X_2+..., ahol X_n = 1/(a_n*a_(n+1)*a_(n+2)). A trükk nem sokkal nehezebb, Y_n = 1/(a_n*a_(n+1)*2d). És így tovább, lehetne a nevezőben egy számtani sorozat K darab egymást követő eleme is, megvan rá a képlet. De a vizsgán szerintem csak kettő kell. :D