Mi a megoldas? Gyokx + gyoky = gyokx*y es x+y=8

Ha jól értelmeztem akkor ez egy egyenlet rendszer nos felvázolom h nekem mi jött ki :)

-Szóval azt kikötjük h x és y nagyobb vagy egyenlő mint 0

-A 2. egyenletből kifejezzük x-et x=8-y

-Behejetesítjük az 1. egyenletbe majd gond nélkül négyzetre lehet emelni ami után az jön ki h 8-y+y=(8-y)*y

-Ebből egy másodfokú egyenlet lesz y^2-8y+8=0

-A megoldó képlettel nekem 4+2×gyök(2) és 4-2×gyök(2) jött ki

-A 2. egyenletbe visszahelyettesítve x_1=8-(4+2gyök(2)) ebből x_1=4-2gyök(2) x_2=8-(4-2gyök(2)) ebből x_2=4+2gyök(2)

remélem jól számoltam és nem követtem el logikai hibát :D

Egyébként én új változó bevezetésével oldanám meg.

(1) Kikötés, hogy a (páros) gyökök miatt x>=0 és y>=0 kell, hogy teljesüljön.

(2) Legyen GYÖKx=a és GYÖKy=b (mivel egy gyökértékeket helyettesítünk, ezért ezekre is csak nemnegatív érték fogadunk el).

(3) Az új egyenletrendszer I. a+b=a*b és II. a^2+b^2=8 lesz. Ezt kell megoldani a-ra és b-re.

(4) RONDA lesz :D De I.-ből például a-t kifejezve (a=b/b-1) és II.-be helyettesítve és rendezve egy remek negyedfokú egyenlet adódik: b^4-2b^3-6b^2+16b-8=0. Na most viszonylag könnyen észrevehető, hogy ennek egyik gyöke b=2, így ha szorzat alakban írjuk fel a fentit, akkor (b-2)*(b-ben harmadfokú polinom) -> ez polinomosztással kapható meg: b^3-6b+4. De ennek megint egyik gyöke b=2, ugyanilyen módszerrel ez meg (b-2)*(b-ben másodfokú polinom) -> most kapjuk azt, hogy: b^2-2b+2.

(5) Tehát az összes b megoldás: b=2(kétszeres gyök) és a másodfokú tényező gyökei (b=-1+-GYÖK3 lesz). De b=-1-GYÖK3 élből kiesik, mert negatív. Egy másik b meg azért, mert fent az a=b/b-1 miatt az a értéke lenne negatív (b-1 az b=-1+GYÖK3 esetén is negatív lenne). Tehát marad, hogy b=2. Ezzel pedig a=2 szintén.

(6) Végül ezekkel, lévén GYÖKx=a és GYÖKy=b helyettesítéssel éltünk, x=4 és y=4 adódik gyöknek. A feltételeknek megfelelnek, azonosságot adnak az eredetibe visszahelyettesítve, így VALÓBAN megoldások :D