Mechanikai problémában tudnátok segíteni?

Kicsit részletesebben kifejtve, hogy megértsd és magad is meg tudd oldani. Valóban az energiával érdemes megoldani, és azzal a határfeltétellel, hogy a körpálya legfelső pontján az m tömegű és r sugarú golyónak legalább akkora sebességgel kell mozognia, hogy az R sugarú körmozgás során a centripetális erő egyenlő legyen a golyó súlyával.

Az R sugarú pálya legfelső pontján a golyónak van mozgási, helyzeti és forgási energiája. A helyzeti és a mozgási energia kiszámítása nem nehéz, a forgásit meg abból számítsd ki, hogy a golyó forgási tehetetlenségi nyomatéka I=(2*m*r^2)/5, forgási energiája meg 1/2*I*szögsebesség^2. A golyó forgásának kerületi sebessége egyenlő a golyó mozgási sebességével, mert csúszás nélkül gördül, így a szögsebességet könnyen kiszámíthatod.

E három energia összegének egyenlőnek kell lennie a golyó helyzeti energiájával akkor, amikor elengedik a lejtőn. Szerintem ezek alapján már könnyen ki tudod számítani.

Nem kérdezted ugyan, de nyilvánvaló, hogy a golyó r sugarának elhanyagolhatónak kell lennie a körpálya R sugarához képest, különben a körmozgás sugara nagyon el fog térni R-től (R-r lesz).

Az első válaszadónak üzenném, hogy 3R/2 már csak azért sem lehet a megoldás, mert ez alacsonyabban van a körpálya tetejénél (2R), vagyis a golyó még csak fel sem gurulna a tetőpontig. Hasznos, ha az embernek kvalitatív képe is van a dolgokról számolás előtt, különben semmit nem ért belőle.

A golyónak csak helyzeti és mozgási energiája van, hiszen feltételezhetően a lejtőhöz képest kicsi, azaz pontszerűnek tekinthető golyóról van szó. Egy pont pedig nem tud forogni, csak mozogni.

Forgási energiája akkor lenne, ha a golyó kiterjedését, azaz a pályán való gurulását is figyelembe vennénk, és a golyó tömegközépponti haladó mozgásán kívül a golyó egyes pontjai ezen tömegközéppont körül is keringenének, ahogy a golyó gurul.

De a helyzet még ennél is jobb: helyzeti energiája sincs a golyónak, ha a helyzeti energia nullszintjét a körpálya csúcsára teszed. Vagyis csak mozgási energiája van:

E = (1/2)*m*v^2 (vagyis "egyketted emvénégyzet")

De mekkora a v? Ebben igaza van az előző hozzászólónak: ahhoz, hogy a golyó ne essen le, legalább a gravitációak biztosítani kell a körpályán való megmaradást, azaz a centripetális erő (ez tartja körpályán a golyót) megegyezik a gravitációs erővel, vagyis:

(m/R)*v^2 = m*g

Innen:

v^2 = g*R.

A mozgási energiája meg honnan van a golyónak? Onnan, hogy nyilván magasabbról lett legurítva, mint a körpálya teteje, vagyis ez utóbbitól számítva mondjuk h magasságból, és ez a helyzeti energia alakult át mozgásivá, azaz:

m*g*h = (1/2)*m*v^2 = (1/2)*m*g*R

Az egyenletből kiesik m és g, és marad

h = R/2

Mivel h-t a pálya csúcsától számítottuk, ezért a föld felett ez nyilván 2*R+h=5R/2 magasan, vagyis 2 és fél sugár magasan van.

Az m és g kiesése azt jelenti, hogy a kísérletet elvégezhed akár a Holdon vagy a Marson is, bármilyen tömegű golyóval, amíg a levezetéshez használt feltételezések igazak: vagyis a golyó mérete elhanyagolható a körpálya méretéhez képest.

Remélem, érthető volt.

"A golyónak csak helyzeti és mozgási energiája van, hiszen feltételezhetően a lejtőhöz képest kicsi, azaz pontszerűnek tekinthető golyóról van szó. Egy pont pedig nem tud forogni, csak mozogni."

A feladatban kis méretű golyóról van szó. Ha pontszerű test lenne, akkor a feladat pontszerű testet írt volna, hozzátéve, hogy tekintsünk el a súrlódástól. Mivel azonban a gördülési ellenállás több nagyságrenddel kisebb a csúszási súrlódásnál, ezt többnyire el lehet hanyagolni. Megírtam, miért kell kihangsúlyozni a golyó kis méretét, ráadásul nem a lejtőhöz, hanem a körpálya sugarához viszonyítva. Egy kis méretű golyó pedig nem pontszerű test, így van forgási energiája is. Lehet, hogy nem hiszed el, de még egy atomnak is van ilyen, ráadásul 3 tengely mentét, csak ezeket szabadsági fokoknak hívják. :)

Amúgy a viszonyítási pontot a helyzeti energiánál oda teszed, ahova akarod, ez nem befolyásolja a számítást, viszont ha a talajszinte tesszük a nulla magasságot, ez a megoldás menetét szemléletesebbé és érthetőbbé teszi. Ez lényeges szempont, mivel ha a kérdező értené a megoldás menetét, akkor nem is kérdezne itt.

Még valami:

"Forgási energiája akkor lenne, ha a golyó kiterjedését, azaz a pályán való gurulását is figyelembe vennénk"

A forgási energia megléte vagy meg nem léte nem attól függ, hogy te figyelembe veszed vagy sem. :D Ez általában is jellemző a fizikai törvényekre. :)

Mellesleg a fent idézett mondatodban ellentmondasz magadnak. :) Ha ui. valaminek nincs kiterjedése, akkor annak nincs alakja, tehát nem lehet golyónak nevezni. A feladatban viszont golyóról van szó. :)

Tudom, köszönöm, fizikus vagyok.:)

A te megoldásod a tökéletes, ezzel tisztában vagyok, csak számomra egyáltalán nem egyértelmű a feladat megfogalmazása sajnos. A "kis méretű" rengeteg feladatban jelenthet és jelent is "pontszerű"-t (elég sokat korrepetáltam és tanítottam már életemben), és én pl. ennek a feladatnak a megoldásaként elfogadnám a forgási energia nélkül, és az azzal együtt elvégzett számítást is - bár attól függ, melyik anyagrésznél tart épp az ember. Már csak a feladat szövegezése miatt is (lásd később).

Nem mondok ellent önmagamnak. Azt hiszem, világos volt a megfogalmazásomból, hogy én nem vettem figyelembe a golyó gurulását abból kiindulva, hogy a kiterjedését, és emiatt alakját sem vettem figyelembe, így nyilvánvalóan nem lehet szó forgási energiáról sem. Ennek ellenére lehet a "golyó" kifejezést használni, de csak mert pl. a "kocka" vagy "kiselefánt" elég furán hangzana. Nem tudom, hogy szó szerint idézte-e a feladatot a kérdező, de érdekes módon sem a "gurítani", sem a "gurul" szó nem szerepel a megszövegezésben - holott ez volna a természetes. Mintha maga a feladat kitalálója is nyitva hagyná a választási lehetőséget.

Továbbá azt sem tudom, milyen szintű feladatról van szó. Egy első lecke utáni alapfeladat esetén, amely a munkatételt gyakoroltatja egy sima lejtővel, a pontszerű golyó értelmezése a kézenfekvő. Egy bonyolultabb, a merev test mechanikája témakörbe illeszkedő feladat esetén a forgási energiát nyilván nem lehet figyelmen kívül hagyni. Én, ha tanár lennék, ezt a feladatot elővenném itt is és ott is, de az egyszerűbb megoldás végén kihangsúlyoznám, hogy valódi esetben miért nem kapnánk soha ilyen megoldást, és hogy majd megoldjuk helyesen is a feladatot egy későbbi anyagrésznél.

Végezetül: a feladat megoldása éppen azáltal lesz szemléletes és egyszerű, ha nem ragaszkodsz a talajszinthez, mint a helyzeti energia obligát referenciapontjához. Rádöbbenti a tanulót a tényre, hogy ennek kezdőpontját ő választhatja meg aszerint, hogy hogyan kell kevesebbet számolni. Rengeteget látok tanárt úgy számoltatni végig feladatokat, hogy nem hangsúlyozza a feladat egyszerűségét, és csak bemagoltatja a diákjaival az 1/2 m*v^2=mgh képletet ész nélkül, és legközelebb a diák is csak számol, számol, de nem érti, hogy miért ilyen bonyolult a számolás vagy hol számolta el. Nem tanítják meg a fogalmak helyes és szemléletes használatát, csak a képletekig jutnak. (Nem véletlen a sok ilyen témájú kérdés sem.) Ha egy tanárról sem érződik a rutin és az egyszerűségre törekvés, akkor mit várjunk a tanítványoktól?

Miután úgy látom, egyetértünk a fizikában, már csak a feladat értelmezése van hátra. Mivel nem ismerjük az eredeti szöveget (én Google-on rákerestem a szöveg egyes jellemző részeire, de csak a gyk-s linket találtam), az itt megfogalmazott szövegből kell kiindulni. Főleg mivel a kérdező sem pontosította, sőt azóta nem is reagált a válaszokra.

Én az ilyen feladatoknál először mindig a feladat pontos szövegéből indulok ki. Ha a szöveg érthető és egyértelmű, akkor nem foglalkozom tovább az értelmezéssel, sem azzal, milyen szinten álló tanulónak adták fel - főleg akkor nem, ha ezt nem is tudom, mint jelen esetben. Eleve rossz az a feladat, amelyet több eltérő módon lehet értelmezni, hiszen a megoldásokat úgyis csak egyféleképpen bírálják el. (Vagy legalábbis igen ritka az, amikor többféle számítási eredményt is elfogadnak.) Semmilyen vizsgán vagy tesztnél nem fogadják el azt, hogy "na de tanár úr, én másképp értelmeztem a feladatot". Különböző értelmezésekkel csak akkor érdemes foglalkozni, ha a feladat szövege pontatlan vagy többértelmű.

Tényleg hidd el, nem kötözködésből írom, hogy a feladat abszolút egyértelmű, mert a "kis méretű golyó" semmiképpen nem pontszerű test. A fizikai feladatoknak megvan a maguk sajátos nyelvezete, és ebben a kisméretű golyó és a pontszerű test két különböző dolog. Azt is írhatta volna, hogy R>>r, ettől r még nem lesz nulla. Lehet, hogy egyes esetekben, pongyolán megfogalmazott feladatokban előfordul ilyen, de nem ebből kell kiindulni. A feladat szövegéből abszolút világos, hogy a kis méretet a körpálya sugarához képest kell érteni, de a faladat bizonyára azért nem rág mindent a tanuló szájába, mert akkor már a megoldást is tálcán kínálná neki. Vsz. hasonló okból nem használja a gurítani igét sem: a diáknak magától kell rájönnie, hogy a golyó gurulni fog és nem csúszni, magának kell rájönnie arra is, hogy itt bizony forgási energiát is kell számolni. És ez így helyes, a diákot gondolkodni kell megtanítani, számolni elvileg már tud. :)

Teljesen igazad van abban, hogy a diákot rá kell ébreszteni a viszonyítási pont megválaszthatóságára. Én is hülyeségnek tartom a képletek bemagoltatását, mert ezzel épp a gondolkodást iktatja ki a tanulás és a feladatmegoldás menetéből. Én is mindig arra hívom fel a figyelmet, hogy először meg kell érteni a feladat és a megoldás fizikai lényegét, a képletekkel csak azután szabad foglalkozni. Tehát először jön a fizikai elv megértése. Én itt azért a talajszintet választottam, mert a fokozatos haladás híve vagyok: ha a kérdezőnek segítség kellett e feladat megoldásához, akkor még nem tart ott, hogy a megoldás egsyzerűsítésen szépségeibe is "beavassuk". Erre csak akkor érdemes sort keríteni, ha a megoldás elvét és gyakorlatát már készségszinten tudja.

Aztr hiszem, nagyon hasonló a felfogásunk, csak épp e feladat értelmezésében nem értünk egyet. :)

A "kis méret" a fizikában számtalanszor utal pontszerűségre, főleg a merev testek mechanikájában, és a feladat értelmezéséhez ilyenkor hozzátartozik annak felismerése, hogy az adott esetet pontmechanikai modellel kell megoldani. Az R>>r jelölés szintén utalhat arra, hogy R mellett r elhanyagolható. Hogy egy kicsit kötözködjek, épp a feladat szövegezéséből kiindulva: mivel a feladat nem tesz említést gurításról, pedig kétszer is megtehetné, valamint szándékosan kiemeli a golyó kicsiny voltát, a fizika feladatokon edződött agyammal azt is gondolhatom, hogy akkor itt szó sincs gurításról, és a feladat kitalálója épp azt akarja elérni, hogy rájöjjek, hogy a mindennapi megfogalmazás és szituáció ellenére egy nagyon egyszerű modellel kell számolnom, amelyben a golyó kiterjedése nem számít. Mert egy valóban pontszerűnek tekinthető elektronról azért mégsem beszélhet, ugyebár. Ez a legegyszerűbb értelmezés, én ebből indultam ki. Attól, hogy egyértelművé tenné, hogy gurításról van szó, a feladat nem válna egyszerűbbé (főleg nem egy olyan valaki számára, akinek fogalma sincs arról, mi a potenciális energia, mert ő miért is tudna számolni?), csak ezt az értelmezést lehet kizárni.

A helyzeti energia nullpontjának önkényessége szervesen hozzátartozik a fogalomhoz és nem pedig annak "virtuóz használatát" jelenti, amibe majd csak az éretteket fogjuk beavatni. Minden feladatot először kvalitatíve érdemes végiggondolni, amihez az elvet már kell tudni alkalmazni, és nem "majd később egyszerűsítünk" módjára számolgatni. Aki erre nem képes, az sosem fogja megérteni a fizikát. Már első ránézésre látszik, hogy a golyót csak 2R-nél magasabbról lehet legurítani, azaz érdemes 2R magasra tenni a helyzeti energia nullszintjét. Attól, mert ezt elmondod, az elvet ugyanúgy alkalmazod, de megosztasz még egy olyan információt is, amelynek tudása lényegesen egyszerűsíti a feladat megoldását. Annak, aki ilyen kérdéseket tesz föl ezen az oldalon, ahelyett, hogy beleolvasna a tankönyvébe, szerintem ez elég lényeges szempont. Tapasztalatom szerint a gyengébb diákok kifejezetten szeretik az ilyen egyszerűsítő feltevéseket, mert semmit sem utálnak jobban, mint egy bonyolultnak látszó feladatot megoldani. A jó tanár meg nem csak az adott feladat megoldását tanítja meg, hanem a szemléletet is igyekszik átadni, amivel a feladatot hatékonyan meg lehet oldani. Ahogy idegen nyelven is akkor tanul meg jól az ember hamar, ha olyanokat hall beszélni, akik magas szinten tudják, nem pedig, akik épp csak egy lépéssel vannak előtte.

Ja, még valami, amit eddig a válaszodban észre sem vettem, aztán részemről ennyi.

Egy atomnak nincs a forgással kapcsolatos szabadsági foka, mert egy atom ebből a szempontból pontszerűnek tekinthető. Ilyenjük molekuláknak van. Éppen ezért az egyatomos gázok (nemesgázok) szabadsági foka csak az atomok transzlációs mozgásából adódik, és 3, nem pedig 6.