Lenne valakinek ötlete ehhez az egyszerű analízis feladathoz?

A szorzat 0-hoz tart.

felbontható (a_k)^(1/n) alakú határértékek szorzatára, ahol a_k: sqrt(k+1) - sqrt(k) sorozat, ami 0- hoz tart.

Mivel sqrt(n+1) - sqrt(n), n->végtelenben nullához tart, és egy valós szám n.dik gyöke n->végtelenben szintén nullához tart, az egész cucc nullához tartó elemek szorzata ami ugye szintén 0-hoz tart.

tegnap 23:20

"egy valós szám n.dik gyöke n->végtelenben szintén nullához tart,"

Ez az állításod nem igaz. Egy pozitív valós szám n-edik gyöke nem 0-hoz tart, hanem 1-hez.

Kérdező! Az ábrán egy mértani közepet látsz. A -2-ik hatványközéppel tudod jól becsülni alulról.

Ha ez macerás, akkor térj át a sorozat reciprokára, az is egy mértani közép lesz, amit négyzetes középpel tudsz majd becsülni fölülről.

Remélem tudtam segíteni. Minden ötletet azért nem lőttem le :)

1. A sorozat minden tagjára nézve a gyök alatti tényezők pozitív számok. Így a sorozat minden tagja pozitív, tehát a nulla alsó korlát.

2. A sorozat minden tagjára nézve a gyök alatti tényezők mindegyike egynél kisebb szám. Így szorzatuk is egynél kisebb. Egynél kisebb szám n-dik gyöke egynél kisebb. Tehát az egy felső korlát.

3. Jelöljünk egy gyök alatti tényezőt a_n-nel, itt a_n egy nullához tartó sorozat. Ebből következően szorzata szintén nullához tart.

4. Ha a sorozat szigorúan monoton csökken, van határértéke. Jelöljünk egy n-dik gyököt K_n-nel. Fentiekből következik, hogy n-dik gyök(a_(n+1)) < 1, tehát K_n > K_n*(n-dik gyök(a_(n+1))) = n-dik gyök(a_1*A_2*...*a_(n+1)) > (n+1)-dik gyök(a_1*A_2*...*a_(n+1)) = K_(n+1), vagyis a sorozat szigorúan monoton csökken. Egy elég nagy n esetén K_n már kisebb lesz egy bármekkora előre megadott pozitív számnál, és minden s>n-re az összes K_s még kisebb. Ez éppen a nulla határérték definíciója.

QED.

"egy valós szám n.dik gyöke n->végtelenben szintén nullához tart,"

Ez az állításod nem igaz. Egy pozitív valós szám n-edik gyöke nem 0-hoz tart, hanem 1-hez.

bocsánat, ez tényleg nem igaz, kihagytam, hogy 0 és közötti valós számokróél van szó. A többi amúgy stimmel.

Sajnos igazad van, tényleg 1-hez tart. Így viszont a 4. pont nem bizonyítja a kívánt eredményt. Másképpen közelítsük meg!

Alakítsuk át: a tényezőket (a különbségeket) szorozzuk meg eggyel!

(gyök(k)-gyök(k-1))*(gyök(k)+gyök(k-1))/(gyök(k)+gyök(k-1))=(k-(k-1))/(gyök(k)+gyök(k-1))=1/(gyök(k)+gyök(k-1)).

Most ezt írjuk be az n-dik gyök alá! Ekkor az egyes tényezők nevezőinél lévő összegekben a nagyobbik szám helyére írjuk a kisebbiket, ezzel minden tényezőben a nevezőt (ami > 1) csökkentettünk, vagyis a szorzótényezőket növeltük:

(gyök(2)-gyök(1))*(gyök(3)-gyök(2))*...*(gyök(n+1)-gyök(n))=1/(gyök(2)+gyök(1))*(gyök(3)+gyök(2))*...*(gyök(n+1)+gyök(n)) > 1/(2*gyök(1)*2*gyök(2)*...*2*gyök(n)) = 1/(2^n*gyök(n!)).

Most cseréljük fel a gyököket:

n-dik gyök(1/2^n*gyök(n!))=1/(2*gyök(n-dik gyök(n!)).

Itt az n-dik gyök(n!) tart végtelenhez, ha n tart végtelenhez. Ezt beláthatjuk, ha tetszőleges A értéket veszünk, ahhoz létezik olyan n, hogy n-dik gyök(n!) > A. Hatványozva ugyanis, n! > A^n, hiszen elég nagy n-nél az n elemű szorzatokban a bal oldali tényezők az A szám után akármekkorák lehetnek, míg jobb oldalon a tényezők mindegyike A értékű.

Ha tehát az előbbiben a nevező tart végtelenhez, akkor az eredeti (az előbbi törtnél kisebb pozitív) sorozat csak nullához tarthat.

ma 17:20

"kell lennie valami jóval triviálisabb megoldásnak, csak nem jövök rá"

A triviálisabb megoldást is leírtam neked:

"térj át a sorozat reciprokára, az is egy mértani közép lesz, amit négyzetes középpel tudsz majd becsülni fölülről."