Hogyan működik az integrálás? Mi a dx?

Inkább ezt a táblázatot nézd: [link]

Ha ilyen szinten vagy, akkor csak az első 6-ot próbáld begyakoloni. (A cos -ig)

Nézzük például az elsőt. Ha x a másodikon van azt jelöljök így: x^2

Ahol x az alap és 2 a kitevő.

Az első szabály szerint, az integrálás során a kitevő növekszik 1-el, és osztani kell az új kitevővel. (amihez már hozzáadtunk 1-et).

Tehát ez lesz belőle:

(x^3)/3

Próbáld most integrálni x^7 -t.

amiről te beszélsz aza határozatlan integrál

annyi az egész hogy a fv-nek keressük a primitív fv-ét (azt a fv-t aminek a deriváltja az eredeti)

a dx el ne foglalkozz azt csak oda kell irni xD

Az integrálás gyakorlatilag egy összegezést jelent. Ez azt hiszem, dem meglepő, hiszen a jelölése is nem véletlen egy nyújtott S betű, a summa szóból származik.

Amit most leírok, ezt alaposan rágd át, ha ezt megérted, akkor már sokkal világosabb lesz számodra az egész.

Tudom, kezdetben nem egyszerű megérteni, de megpróbálom a lehető legegyszerűbb módon leírni.

Amikor az integrálást bevezetik, akkor fel szokás rajzolni egy y-x derékszögű koordinátarendszerben lévő tetszőleges görbét. És akkor azt mondjuk, hogy ez a görbe legyen valamilyen y=f(x) módon megadva.

Innentől kezdve a motíváció az, hogy vajon az y=f(x) görbe alatti terület mekkora az x tengelyig bezárólag egy tetszőleges x1 és x2 tartomány között, ahol x1<x2.

Mindenféle levezetést mellőzvén erre a válasz a következő:

Integrál (x1 től x2 ig) f(x) dx.

Most vizsgáljuk meg az általad kérdezett f(x)dx részt közelebberől:

f(x) nem más mint a függvény értéke (y) az x helyen.

Az f(x)dx rész gyakorlatilag egy szorzási művelet. Vagyis az előbb említett y értéket szorozzuk dx-el.

És most visszatérünk dx-re és az y-x koordinátarendszerben rajzolt görbére.

A görbe alaatti terület kiszámítására adjunk ötletet józan paraszti ésszel; A legegyszerűbbnek tűnő módszer talán az lenne, ha ezt a területet felbontanánk téglalapokra.

Az egyszerűség kedvéért vizsgáljuk az y=x^2 parabolát X1=0 és x2=3 tartományban.

Bontsuk fel a területet 3 téglalapra, így a téglalapok szélessége 1 egység.

Magasságuk persze különböző lesz, határozzuk meg ezeket:

az első téglalap magassága az y értéke x=1-nél:

y1=1^2=1.

A második téglalap magassága:

y2=2^2=4

A harmadiké:

y3=3^2=9.

A téglalapok területei így rendre: 1; 4; 9.

A téglalapok területének összege eredményül a keresett terület összegét közelíti felűlről:

Tf=1+4+9=14.

Ha pedig alúlról közelítjuk, a téglalapok magassága rendre:

0; 1; 4.

Tehát az alúlról közelítő területérték: 5.

Tehát a terület 5 és 14 között van, most vegyük ezek átlagát:

Az átlag 9.5. Tehát Józan paraszti gondolkodásmóddal a területet megbecsültük.

Az is észrevehető, hogy ha nem 3, hanem 6 téglalapra bontottuk volna föl a területet, akkor pontosabb értéket kaptunk volna, hiszen így az ún. holtterületek kisebbek lesznek.

Általánosságban pedig elmondható, hogy minnél több téglalapra bontjuk fel, annál pontosabb lesz az eredmény.

És itt jön be az integrálás. Kitalálta Newton és Leibniz, hogy végtelen darab téglalapra kell felbontani, ekkor pedig pontos végeredményt fogunk kapni.

Vagyis a téglalap szélessége most nem 1 egység lesz, nem 2 egység, nem 0,5, stb. hanem dx.

A dx azt jelenti hogy differenciálisan kicsiny szélesség, tehát közelít 0-hoz.

Gyakorlatilag akkor a válaszhoz el is érkeztünk. A dx nem más, mint a végtelen számú elemi téglalapok differenciálisan kicsiny szélessége.

Kiszámoljuk az elemi téglalapok területét, és ezeket összegezzük.

Erre persze megvannak a szabályok, eljárási módok, ezeket tárgyaljátok ti, meg a gyakorlás során.

Még két dolgot feltétlen meg kell jegyezni:

1. Az integráljel és a dx mindig összetartoznak.

2. dx azt is jelenti, hogy az integrálás x szerint történik.

Remélem érthető volt.