A páratlan számok összege sorrendben mindig négyzetszámot ad?

pl. 5^2=(4+1)*(4+1)=16+4+4+1=16+9=4^2+9=(5-1)^2+9

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 miatt

6^2=(5+1)*(5+1)=25+5+5+1=25+11=5^2+11=(6-1)^2+11

tegyük fel, hogy igaz.

akkor

1+3+5+...[1+2*(n-1)] = n^2

a következő számra:

1+3+5+...[1+2*(n-1)]+[1+2*(n)] = (n+1)^2

de az elejéről feltettük, hogy n^2

azaz

n^2 + [1+2*(n)] = (n+1)^2

n^2 + 1 + 2n = n^2 + 2n + 1 ez pedig egyenlőség

azaz tetszőleges két egymást követő esetre igaz, ha az elősőre igaz.

azt pedig tudjuk, hogy a sor elejére igaz, hiszen azt kiszámoltad.

Mindkét előző válaszoló korrekt levezetést írt, de van egy egészen szemléletes bizonyítás is, amiről érdemes tudnod.

Nem is magyarázkodom semmit, csak lerajzolom, egyből megérted majd :)

---

1

---

2 2

1 2

---

3 3 3

2 2 3

1 2 3

---

4 4 4 4

3 3 3 4

2 2 3 4

1 2 3 4

.

.

.

Ugye, milyen nagyszerű :-) Ez a "kavicsaritmetika" az ókori görögök találmánya. Számos elemi számelméleti összefüggést lehet vele villámgyorsan megmutatni.

Ha jól emlékszem, a tétel úgy szól, hogy az első n darab négyzetszám összege egyenlő n²-tel.

3 + 5 + 7 is sorban levő páratlan számok, az összegük mégsem négyzetszám.

Ha az számtani sor összegképlete

Sn = [(a1 + an)/2]*n

igaz (márpedig az), akkor az

a1 = 1

d = 2

számtani sor esetén

an = a1 + (n - 1)d = 1 + (n - 1)2

an = 2n - 1

Az összeg pedig

Sn = [(1 + 2n - 1)/2]*n = (2n/2)*n

Sn = n²

Nem igazán értem, mit akart az első válaszoló bizonyítani a kétségtelenül igaz azonosságokkal.

Valószínüleg nekem gyenge a felfogó képességem, de nem világos a "kavicsaritmetika" működése.

Felhomályosítanál? :-)

"Valószínüleg nekem gyenge a felfogó képességem, de nem világos a "kavicsaritmetika" működése.

Felhomályosítanál? :-)"

Annyi a lényeg, hogy újabb és újabb "rétegekkel" bővítjük a kavicsábrát, előállítva ezzel a négyzetszámok sorozatát. Az n-edik rétegben éppen az n-edik páratlan számnak megfelelő számú kavics van.

A kérdező természetesen az ELSŐ VALAHÁNY páratlan szám összegéről kérdezett, csak pontatlanul fogalmazott.

Bocs, de még mindig nem értem.

Az egy rétegben levő kavicsok száma jelentené a négyzetszámot?

Ha két szaggatott vonal köze jelent egy réteget, akkor miért van a másodikban az 1 2 sor, mikor fölötte a 2 2 összege megadja a 2 négyzetét? Ugyanígy a többinél sem világos a felépítés logikája.

---

1

---

2 2

1 2

---

3 3 3

2 2 3

1 2 3

---

4 4 4 4

3 3 3 4

2 2 3 4

1 2 3 4

Úgy néz ki, magyarázni nem tudok :(

Akkor majd a wiki elmondja helyettem:

[link]

és itt a Tulajdonságok rész