Csak az egyenlőség-reláció lehet definiáló?

Matematikailag ezek a "definíciók" értelmezhetők, de nem tekinthetők szigorú definíciónak a szokásos értelemben. Az igazi probléma az, hogy a definíció célja az, hogy egy fogalmat pontosan, egyértelműen meghatározzon. Ha egy fogalmat csak relációkkal definiálunk, akkor az meghatározatlanságot hagy maga után.

Az ilyen jelölések gyakran előfordulnak filozófiai vagy informális matematikai szövegekben, de ritkán jelennek meg szigorú matematikai keretek között. Az, hogy ϵ def>0, például értelmezhető, de általában ezt axiómaként vagy feltételként kezeljük, nem pedig valódi definícióként.

Az ötlet, hogy a definiáló egyenlőséget más relációkra terjesszük ki, matematikailag izgalmas spekuláció, de a gyakorlatban nehezen alkalmazható. A definiálás célja az, hogy egy fogalom jelentését pontosan rögzítse, míg a relációk általában két objektum közötti kapcsolatot írnak le.

Az "egyenlőség" itt csak egy jelölés technikai egyszerűsítés. Nem véletlen, hogy sok helyen /külföldi szakirodalmak/ a definiciót (ha pontosan jelölni akarják) akkor ":=" írásjellel jelölik, hogy az embert ne vezesse félre az "=" jel használata.

Amit 1-es írt, hogy a definiciónak egyértelműnek kell lennie. Nagyjából úgy lehet megofgalmazni, hogy választunk egy új fogalmat és pontosan meghatározzuk, hogy mit értünk alatta. Ezt általában valami egyszerűsítés miatt vezetjük be. Pl. definiálok egy "Be" (Bejgli Egység) fogalmat, ami azt jelenti, hogy egy átlagos felnőtt Magyar ember mennyi bejglit fogyaszt el karácsonykort és a TKe ennek megfelelően lesz a Töltött Káposzta Egység.

De lehet ezeknél bonyolultabb fogalmakat is definiálni. De lényeg, hogy a definiciónak egyértelműnek kell lennie. Azaz pontosan tudni kell, hogy valami megfelel-e a definiciónak vagy sem. Pl. tovább visszük a "Be" gondolatatot akkor bevezethetjük a "DBe" és az "MBe" fogalmakat a Diós és a Mákos bejglire. Ha meg valaki gesztenyéset eszik akkor az kilóg mert az se nem Diós se nem Mákos. Esetleg vizsgálhatjuk, hogy mennyi MBe felel meg 1 DBe-nek és, hogy ezt hogy kell átváltani Be-re. De itt a definició egyértelmű. (esetleg kölcsönösen egyértelmű, bár az nem követelmény, mert akár ugyanarra használhatunk más és más definiciós jelölést /mint azt használjuk is, gondoljunk arra, hogy az az egyszerű definiió, hogy "négyzetgyök" minden nyelven másképpen fog hangzani, holott ugyanaz a matekamtika "fogalom" van mögötte, nem tudom értelmezhető ez így). Ebbe nem fér bele a "relációs" gondolat. Pl. nem fog kijönni, hogy a gesztenyés bejgli kicsit mákos is meg kicsit diós is. Nincs túl sok értelme.

Természetesen ahogy 1-es írta, majd vizsgálható az így definiált dolog tulajdonsága, ott már elképzelhető relaációs kapcsolat, pl. az, hogy a DBe mindig nagyobb, mint MBe és társai. De ez már nem a definicióhoz tartozik, hanem a definiált dolog tulajdonságainak vizsgálatából fog következni.

Hiszen ezek a definiciók alapvetően "egyszerűsítések" ld. fent említettem a négyzetgyököt. Bevezetjük, ""B" ngy-e jelenti azt az "A" számot, amire igaz lesz az, hogy A*A=B" nem is kellett itt "formálisan" kiírni az "=" vagy a ":=" jelet. Ez egy "egyenlőség definició" a kérdező ködösségében. Arra szolgál, hogy ahol ngy-t kell használni ne kelljen végig mindig leírni, hogy mire gondolunk. 1x definiáljuk és utána használjuk. Most csak így a Lorentz tag jutott eszembe ami 1/ngyök(1-v*v/c*c) na ha ezt ki kéne fejteni, hogy mit értünk ngyök(1-v*v/c*c) alatt és végig vinnünk kéne magunkkal a definiciós "azonosságot" akkor a spec.rel sebesség transzf.képlete nem lenne ennyire egyszerű hanem fél oldalt töltene ki. Sőt azt is bevezethetjük, hogy azt mondjuk, hogy a g(gamma)-val jelöljük innen kezdve a Lorentz tagot és rengeteg egyenlet tovább egyszerűsödik. Aztán majd külön játék a lorentz tag vizsgálata.

Boldog bejgli evést mindenkinek :)

@T. Feri: nem. A definíciód megint egyenlőséggel definiál:

F:={x|(x\in Gyerekhalmaz)&(Életkor(x)<5)}

"Viszont akkor ebben nincs is konszenzus?" -> Ez egy érdekes felvetés, és aki tudománnyal foglalkozik az tudja, hogy "nincs konszenzus". És nem is lehet konszenzus. Pont azért amit fent is írtam már, hogy pl. ott vannak a nyelvi sajátosságok. És itt nem csak arra gondolok, hogy pl. az a szám, hogy "2" angolul two, magyarul kettes (vagy kettő), lengyelül dwa, németül zwei és sorolhatnám. Hanem eltérés van a nyelvek szerkezetében is (pl. hogyan néz ki egy jelzős szerkezet, egy birtok viszony stb. stb.). És ez tükröződik nem egyszer a matematikai jelölésekben is. Ugyanis ezek a jelölések egy "gondolat menetet" írnak le.

Nyilván való, hogy vannak elterjedten használt jelölések amiket nagyjából a fél világ elfogad, és azt követi (ilyen pl. a mi kultúr körünkben az arabszámok használata, az alapvető írásjelek, alapvető függvények). De ezek nem kőbevésett dolgok. Aztán amikor jönnek a bonyolultabb dolgok akor az is előfordul, hogy egy jelölést csak egy adott könyv használ. Nem véletlen, hogy ahol nagyon nagy szükség van arra, hogy mindenki ugyanazon a jelölésen ugyanazt értse a könyvben (általában a végén) ezt részletesen le is írja, hogy az adott könyvben melyik jel pontosan milyen jelentéssel értendő.

De már pl. a tizedes pont és a tizedes vessző és az ezres elválasztó jel sem egyértelmű. Pl. a Magyar helyesírás szerint 123 456,789 és az 123.456,789 alak is helyes. Itt tizedes vesszőt használunk, angol szövegkörnyezetben a tizedes vessző helyett pontot kell használni és a szám 123 456.789 formátumú lesz, vagy nagy ritkán találkozni 123'456.789 alakkal is. Ha már ez sem egységes már Európán belül, akkor el kell fogadni, hogy egy-egy bonyolultabb jelölés sem lesz az.

Ami viszont szinte az egész világon "konszenzus", hogy egy művőn belül (ami lehet egy fél oldalas cikk, vagy egy 13 000 oldalas tankönyv) ugyanazt úgyanúgy kell használni. És (főleg egy 13 000 oldalas tankönyv esetén elfér benne az összes jelölés magyarázata, hogy mit és mivel jelölünk).

Valamint bejön pont ennél amit te felhoztál példának a := def= alak, hogy az adott környzetben mi szedhető ki egyáltalán, melyik lesz olvasható pl. egy 8 pontos betűméretű szövegben az = jel fölé írt def szócska már cska nagyítóval lesz olvasható. Vagy pl. ezen az oldalon ahol nem tudunk semmit fölé írni itt le se tudjuk írni. És marad a := jelölés. Ez is benne van a "pakliban", hogy nem lesz egységes a jelölésrendszer.

Ilyen nincs. Ha egy levezetésben a definiciót használjuk akkor esetleg a szöveges magyarázatba beleírjuk, hogy "definició szerint" és nem bonyolítjuk. Vagy ha olyan a környezet akkor feltételezzük, hogy az olvasó tudja, hogy mi egy definició és magától rájön.

És nem tudom miért akarod hetente többször megváltani és megváltoztatni a matematikát? Megint túl sok bejglit ettél és megfeküdte a gyomrodat?

Az egyenlőség jel fölé írt kérdőjel alakot én eddig csak egyenlőség vizsgálatnál láttam. Abban a jelentésben, hogy "vizsgáljuk meg, hogy a kifejezés két oldala egyenlő-e egymással". Más környezetben még nem. De ha te igen akkor linkelj már releváns szakcikket ahol más értelemben használják.