Legfeljebb hány pont adható meg a térben úgy, hogy mindet összekötve, a keletkezett háromszögek ne metszék át egymást?

"Ha már négy pont van egy síkban akkor a két átló már metszi egymást."

Akkor, ha a pontokra -a szemléletesség kedvéért- kivülről egy gumigyűrűt teszünk, hagyjuk összehúzódni és az egy konvex négyzetet rajzol ki. Akkor lesz baj az átlókkal.

De ha három pont után a negyediket az általuk alkotott háromszög belsejébe tesszük, az jó lesz.

Induljunk ki a síkból. Nem is az eredmény a fontos most – az lehet, hogy viszonylag triviális –, hanem az, ahogy elemezni fogjuk a kérdést.

Ugye az triviális, hogy egy háromszög három csúcsát össze lehet kötni anélkül, hogy az élek metszenék egymást (nyilván leszámítva a csúcsokat).

És akkor most nézzük meg ezt: [link]

Mint látható a háromszög három csúcsán három egyenes halad át, ami a síkot 7 részre osztja. Ebből 3–3 a vizsgálódás szempontjából hasonló.

Nézzük, hova lehet felvenni egy D pontot:

0. Azt zárjuk ki, hogy két pont egybeesik, illetve hogy valamelyik szakaszra, ami ekvivalens azzal, hogy három pont kollineáris. Az ilyen esetek – érzelmezéstől függően – vagy eleve helytelen megoldások lesznek, vagy végtelen ponthoz vezetnek, ha pl. minden pont egy egyenesre esik.

1. Felveheted a D pontot a háromszögön belül. Lásd: [link] . Ez jó, a három új szakasz (AD, BD, CD) nem metszik sem egymást, sem az eredeti háromszög oldalait (AB, BC, AC).

2. Ha a sárga területek valamelyikére veszed fel – pl. az AB szakasz alatt, lásd: [link] –, akkor baj van, hiszen a CD szakasz metszeni fogja az AB szakaszt.

3. Ha a zöld területek valamelyikén, mondjuk az A csúcsnál lévő részre veszed fel az is jó – lásd: [link] . Ebben az esetben sem metszik egymást a szakaszok. Viszont látni kell, hogy ebben az esetben az A csúcs biztosan a BCD háromszögön belülre esik, tehát az így kapott esetben a 4 pont elhelyezkedése hasonló az 1. pontban leírtakkal.

Tehát eljutottunk oda, hogy adva van egy háromszög (ABC) és azon belül egy pont (D). Hova lehet felvenni egy E pontot?

1. Ha az ABC háromszögön kívül veszed fel, az nem jó, mert a háromszögön belüli D ponttal összekötve valamelyik oldalt (AB, BC vagy AC) metszeni fogja.

2. A másik lehetőség, hogy az E pontot szintén az ABC háromszögön belül veszed fel. A gond az, hogy a D pont az ABC háromszöget három háromszögre bontja (ABD, BCD, ACD). Lásd: [link] . Az E pont valamelyik háromszögön belül lesz. Mondjuk essen az E pont az ABD háromszögön belülre. Lásd: [link] . De mivel a C pont az ABD háromszögön kívül van, így a CE szakasz vagy az AD vagy a BD szakaszt metszeni fogja.

Tehát 4 pont felvehető úgy, hogy az őket összekötő szakaszok ne metsszék egymást, de egy ötödik pont már nem.

~ ~ ~

Valami hasonlót kell eljátszani térben is. Sorry, ehhez inkább már nem készítek ábrákat. Itt ugye a kiinduló triviális helyzet egy tetraéder, aminek a lapjai 4 síkot határoznak meg, ami a teret a tetraéder belsejére, 4 a lapok „mögötti” térrészre, 4 az csúcsok „mögötti” térrészre, meg 4 az élek mögötti térrészre osztja. Innen kisakkozható, hogy a lapok mögött, illetve az élek mögötti térrészre nem kerülhet pont. A tetraéder belsejébe kerülhet, illetve kerülhet a csúcsok mögötti térrészre is, de ebben az esetben is egy olyan elrendezést kapunk, ahol van egy tetraéder és benne egy pont.

Innen a logika ugyanaz. Ha a tetraéderen kívül veszel fel egy hatodik pontot az nem jó, mert a belső ponttal összekötve valamelyik lapot metszeni fogja. A belső pont a tetraédert 4 kisebb tetraéderre osztja, egy esetleges hatodik belső pont ezek valamelyikébe esik, miközben lesz egy külső pont is, ami megint nem jó.

Tehát térben 5 pont vehető fel úgy, hogy azokat összekötve a szakaszok, illetve a háromszögek nem metszik egymást. Egy hatodik már mindenképpen egy olyan szakaszt fog okozni, ami átdöfi legalább az egyik háromszöget.

#14

"Szerintem csak 3 pont lehet egy síkban."

Erre már válaszoltam a 12-es hozzászólásban. Ha van egy háromszöged és annak a belsejében veszel fel egy negyedik pontot, az még jó lesz.

És ezekre a pontokra nem lehet négyoldalú gúlát emelni. Ezért az érvelésed nem bizonyítja, hogy a térbeli elrendezés nem felel meg a feltételeknek.