Van egy egységnyi átmérőjű gömb: Milyen hosszú az a gömbátmérő két végpontját összekötő spirál vonal, amelyik pont a gömb túloldalán, pont az egyenlítőt mettszi?

A spirál, mint geometriai forma alatt a c(t)=(cos(t),sin(t),t) görbét szokták érteni, illetve ennek mindenféle transzformáltjait, meg változatait (arkhimédeszi spriál, stb.) Ezt úgy lehet elképzelni, hogy a z koordinátában emelkedik, miközben az x és y koordinátákban forog.

A kérdező leírása szerintem jól elképzelhető (ha jól értem), annyit még hozzátennék, hogy a spirál egyenletes emelkedésű, hogy egyértelmű legyen, és ne végtelen sok spirál legyen felrajzolható.

A keresett spirál görbe paraméterezése a következő:

c(t)=(cos((t-pi)/2)*cos(t),cos((t-pi)/2)*sin(t),sin((t-pi)/2)), t megy 0-tól 2pi-ig. (Rajzoltasd ki geogebrával, látni fogod, hogy ez az amit kérdeztél.)

Onnan jön, hogy a gömbfelület paraméterezése:

f(u,v)=(cos(u)*cos(v),cos(u)*sin(v),sin(u)) ahol u megy -pi/2-től pi/2-ig (u a gömbfelület pontjába húzott sugár és a pólusokat összekötő átmérő által bezárt szög), v megy 0-tól 2pi-ig (v a pólusokat összekötő átmérőre merőleges egyenlítő síkjában való elfordulás szöge). Itt én nem 1-ség átmérőjű gömböt, hanem az 1-ség sugarú gömböt vettem, mert nekem így volt egyszerűbb, de lényegileg mindegy.

A kérdéses spirál ezen a gömbfelületen fut, tehát ezt a paraméterezést ki kell elégítse, kérdés, hogy a spirál pontjaiban mi a kapcsolat u és v között, azaz mi az u(v) függvény! A kiindulásnál v=0, ekkor vagyunk a déli pólusban, tehát az u(0)=-pi/2, amikor eléri az egyenlítőt, akkor éppen a spirál felénél legyünk u(pi)=0, amikor pedig az északi pólusba érünk u(2pi)=pi/2. Ezekre a pontokra kell egyenest illesztenünk (egyenest, ha feltesszük, hogy egyenletesen emelkedik a spirál), ami pedig u(v)=(v-pi)/2. Tehát v=t jelöléssel és u=(t-pi)/2-vel behelyettesítve a gömbfelület paraméterezésébe, éppen a c(t)-t kapjuk, ez a spirál paraméterezése.

Ha a spirál hosszára vagyunk kíváncsiak akkor a megfelelő képletbe kell behelyettesíteni, ami úgy szól, hogy c(t) deriváltjának abszolút értékét kell integrálni 0-tól 2pi-ig. Ez kicsit hosszú számolás nem is írnám le ide, a végén az jött ki, hogy

2*gyök(1/4 + cos^2(x))-et kell integrálni -pi/2-től pi/2-ig. Ez egy úgynevezett elliptikus integrál, ami a "klasszikus" integrálási technikákkal nem számolható, az eredmény 2*E(-4), ahol E(-4) a -4 paraméterű másodfajú elliptikus integrál értékét jelenti, 2*E(-4)-re, tehát a spirál hosszára közelítő érték ~5.27...

A válasz, hogy ezeket a számokat is megtalálták (amik az ilyen elliptikus integrálok értékei), és amik közül speciálisan E(-4) írja le a kérdezett spirál hosszát, csak ezek nem annyira közismertek mint a pi:)

"A kérdező leírása szerintem jól elképzelhető (ha jól értem), annyit még hozzátennék, hogy a spirál egyenletes emelkedésű, hogy egyértelmű legyen, és ne végtelen sok spirál legyen felrajzolható."

Egyenletes emelkedésű spirálból is végtelen sok van.

7: azért nem, mert azt mondja, hogy 180 fokos elfordulásnál érje el az egyenlítőt, tehát egyszer "megy körbe" a gömb felületén.

De egyébként, ha azt szeretnénk hogy k-szor menjen körbe, annyit kell módosítani a képleten, hogy a (t-pi)/2 helyett (t-k*pi)/2k -t írunk a képletbe.