Létezik-e induktív bizonyítás a pozitív valós számok körében?

Induktívnál olyasmi a logika, hogy tudom, hogy f(0)-ra igaz az állítás, és ha f(n)-ből következik f(n+1), akkor készen vagyunk. (n egész szám.)

Először vegyük csak a [0,1] intervallumot. Mondhatom-e azt, hogy ha f(0)-ra igaz, és egy tetszőleges m bites 0 <= x <= 1 szám mellett f(x)-ből következik f(x') is, ahol x' az x szám kiegészítése az m+1-edik bitjén egy 1-es értékkel (gyakorlatilag hozzáadunk 1/2^(m+1)-et), akkor készen vagyunk?

Először azt akartam mondani, hogy legyen egy x'' is, ahol az m+1-edik bitre 0-át írunk, de ez igazából felesleges, mert nem változtat az x szám értékén.

A kérdés, hogy a fenti indukció alkalmas-e, hogy valós számokra bizonyítsunk dolgokat, vagy csak a racionális számokról enged következtetni? Vagy eleve használhatatlan az egész?

Nekem az a megérzésem, hogy ez nem fog működni, mert ahogy azt mondom, hogy a végtelenségig megyek, a racionális számokból "hirtelen" irracionálisak is lehetnek. Viszont nem értem, hogy a mezei indukciónál ilyen sérülés miért nincs?