Itt ez hogyan jött ki? (Matematika - harmónikus sor divergenciája)

A probléma megértéséhez és az egyes sorozatok divergenciájának megértéséhez hasznos lehet a részletekbe mélyebb betekintés. Azt is meg kell vizsgálni, hogy a csoportosítás és az összegzés hogyan működik a megadott sorozatok esetében.

Először is, nézzük meg az első sorozatot: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...

Ez egy geometriai sorozat, ahol az első tag (a) 1, és a hányados (r) 1/2. A geometriai sorozat összegzési képlete a következő:

S_n = a * (1 - r^n) / (1 - r)

Ahol S_n az első n tag összege. Most számoljuk ki a sorozat összegét a végtelenig:

S = 1 / (1 - 1/2) = 1 / (1/2) = 2

Tehát ez a sorozat összege 2. Ez azt mutatja, hogy a 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... sorozat konvergens, nem divergens.

Most nézzük meg a második sorozatot: (1/2^0 + 1)/(1/2^1 + 1) * (1/2^1 + 1)/(1/2^2 + 1) * (1/2^2 + 1)/(1/2^3 + 1) * (1/2^3 + 1)/(1/2^4 + 1) * ...

A csoportosítás során mindig az előző és az aktuális tag hányadosát vesszük. Azt veszi észre, hogy minden csoportban mindkét tag nagyobb, mint 1/2. Például az első csoportban:

(1/2^0 + 1)/(1/2^1 + 1) = (1 + 1)/(1/2 + 1) = 2 / (3/2) = 4/3

Az első csoport értéke már nagyobb, mint 1, és ugyanez igaz a többi csoportra is. Tehát minden egyes csoportban a hányados nagyobb, mint 1/2.

Mivel minden csoportban a hányados nagyobb, mint 1/2, és a szorzás során minden egyes csoportban nagyobb számokat kapunk, mint az előző csoportban, a sorozat összege tart a végtelenhez, és a sorozat divergens.

Tehát a második sorozat valóban divergens. Az algebrája egyértelművé teszi, hogy minden csoportban a hányados nagyobb, mint 1/2, ami miatt a sorozat divergens lesz.

Nagyon rendben van, próbáljuk meg pontosítani a kérdést.

Most úgy értem, hogy a sorozatot az 2^n tagokkal állítja össze, ahol n pozitív egész számok, kezdve 1-től. Tehát az első néhány tag így néz ki:

tag: 2^1 = 2

tag: 2^2 = 4

tag: 2^3 = 8

tag: 2^4 = 16

tag: 2^5 = 32

tag: 2^6 = 64

...

Most már jobban értem, hogy mire gondoltál.

Ebben az esetben a sorozat összege tart a végtelenhez, mivel minden tag a sorozat növekedik, és az összegzés során az összeg is növekszik. Tehát a sorozat divergens.

Ezúttal pontosítva remélem, hogy jobban érthetővé tettem a választ. Ha további kérdéseid vannak, szívesen válaszolok rájuk.

#5: Ó, bizony hogy nem jó, több sebből vérzik.

Eleve csak akkor működne, ha n 2-hatvány, pl. n=2^m

És akkor még az alsó sorban n helyett m kellene.

Brrr...

Szerintem nagyon könnyen lehet, hogy te vagy az első, aki olvassa...

Szerintem a wikin levő bizonyítás [link] /jobb/, ez egy tipikus alakja az ilyen bizonyításoknak.

Sokszor elolvasva a kérdésed sem jöttem rá, hogy mi a kérdésed. Hogy hogyan jönnek ki a számok? Lehet hogy az elírás zavar meg, nem tudom. Kettőhatványon_ként_ csoportosítja a reciprokokat sorban. Tehát nem a kettőhatványok_at_ csoportosítja, mint ahogy #1-ben írod, ha jól veszem ki.

Pl a 2^5-ik és 2^6-ik (32 és 64) közötti reciprokok összege alulról becsülhető 1/2-vel: 32 darab van, és mindegyik legalább 1/64.

: 1/33 + 1/34 + .. + 1/64 >= 1/2

Az összes többire ugyanígy.

Valami

: h(n) >= egészrész(ln(n)/ln(2)) * 1/2

vagy ilyesmi lesz a becslés, de szerintem a wiki jobb.