Miert olyan amilyen a műveleti sorrend a matematikában?

Akkor én eddig szemben mentem az árral elég erősen, csak a példa kedvéért legyen CSAK összeadás:

3+8+11+20+17+39+2

Én ezt soha nem kezdtem (az 1. osztályt kivéve) balról jobbra, legfeljebb az elolvasását, én automatikusan összeadom azokat, melyek könnyítik munkám:

3+17+11+39+8+2+20

És nem ezt nem szoktam leírni, ezek szerint az összes eredményem hibás, ja nem, ugyanis az összeadás pozitív számokra kommutatív, akkor mi is írja elő a balról jobbra haladást? Jaaa, hogy alsóba ezt mondta a tanárnéni?

Most azt gondolod, hogy ezzel meg is van védve azon állításod, hogy a balról jobbra haladásnak semmi köze a műveleti sorrendhez? Csak ismételni tudom magam: lóf.szt.

Te pusztán megcáfoltad az állításomat, és azt sugallod, hogy ebből következően igazat állítottál korábban. Miért nincs benned semmi építő szándék? Miért az összeadással példálózol ahelyett, hogy a kivonással példálóznál, amivel előrébb jutnánk a vitában, nem pedig beleragadunk egy értelmetlen kitérőbe, aminek egyedül az a funkciója, hogy később derüljön ki, hogy hülyeséget állítottál?

Ez többnyire közös döntés, de logika is. Gondoljunk csak bele, hogy mi a szorzás. A szorzás (most vegyük csak a természetes számokat, mert eleinte csak azokkal számoltak) egy többször megismételt összeadás.

Azaz:

a * b = a + a + a+....+ a + a + a (b-szer)

Ebből is látszik, hogy a szorzás az egy egyszerűsített leírása a többszörös összeadásnak.

Mi a hatványozás? Egy többször megismételt szorzás.

a^b = a * a * a ... * a * a * a (b-szer)

Ebből is látszik, hogy a hatványozás egy egyszerűsített leírása a szorzásnak.

Nem egyszerűbb ennek alapján ügy dönteni, már csak a logika kedvéért, hogy ha már a hatványozás egyszerűsíti a szorzást, a szorzás pedig az összeadást, akkor a hatványozás műveletét végezzük el először, majd a szorzásét, végül az összeadásét?

Persze lehet másként is gondolkozni, pl. úgy, hogy minél bonyolultabb dolgot fejez ki egy művelet, legyen annál alsóbbrendűbb, azaz a "+" legyen az elsőrendű, a "*" a másodrendű és a "^" a harmadrendű, mert kis gyakorlással ezzel is úgy tudnánk számolni, mint a jelenlegivel.

a + b *c + d + e ^f + g egyenlő lenne

((a + b) *(c + d + e)) ^(f + g), de nem kevesebb a zárójel a megszokott műveletsórendnél?

a + b *c + d + e ^f + g = a + (b *c) + d + (e ^f) + g

(itt két zárójel van, fent több, és jóval bonyolultabbak a fenti zárójelrendszer)

Természetesen, ha + helyet * írok és fordítva, akkor egy kicsit másabb a helyzet:

a * b +c * d * e ^f * g (alternatív sorrenddel)=

(a * (b +c) * d * e) ^(f * g)

a * b +c * d * e ^f * g (megszokott sorrend)=

(a * b) +(c * d * (e ^f) * g)

(itt éppen annyi zárójel van, mint fentebb, és nem is bonyolultabb a fentinél)

Nem tartom kizártnak, hogy létezik olyan *,+,^ műveleteket tartalmazó kifejezés is, amiben kevesebb zárójelet kéne használni az alternatív műveletsorrendnél, mint a megszokottnál, de néhány kifejezés után (ahol vagy annyi, vagy több zárójelet kellett használni) feladtam, és nem próbálkoztam tovább.

Ha van itt jó matematikus, és tud írni nekem egy olyan +,*,^ jeleket tartalmazó kifejezést, ahol az alternatív műveletsorrenddel kevesebb zárójelet kell használni, megköszönöm.

Addig is gyanítom, hogy azok, akik végül is döntöttek a műveletek sorrendje mellett, azt is figyelembe vették, hogy az elfogadott sorrendnél azért rengeteg olyan kifejezés van, ahol jóval kevesebb zárójelet kell használni, mint más sorrendeknél.

Van egy másik megközelítés is.

Más műveleti sorrenddel leírható-e ugyan az ? Vagy csak kevesebb dolog, vagy akár több minden is? Ha csak ugyan az, akkor nem vesztettünk semmit, csak választottunk egyet a lehetőségek közül.

Új: + > - > ^ > *

Eredetiben: 5+2*2^3-5

Új értelmezésbebn, de az eredeti nyelvén: (5+2)*(2^(3-5))

A lényeg, zárójelezéssel bármely új műveleti sorrend leírható. Nem vesztettünk semmit.

Másik dolog. A matematika törekszik hasonló dolgokat hasonlóan jelölni. A valós számokkal megszokott összeadásnál, szorzásnál, külön külön "felcserélhető" az elemek sorrendje mert asszociatívak (ab)c=a(bc) ÉS kommutatívak ab=ba (nem elég a kommutativitás...) De vannak nem asszociatív és/vagy kommutatív műveletek. Akkor az ismételt művelet: pl.: &

a&b&c&d konszenzusosan az egyszerűsítése az ((a&b)&c)&d nek, tehát fontos tudni ilyenkor mi a műveleti sorrend, MERT más sorrendben elvégezve más lenne az eredmény MERT nem asszociatív vagy kommutatív. S jé, ez az általános iskolás "balról jobbra".

Ha több művelet van, akkor meg egyszerűen el kell dönteni, hogy melyiket végezzük el előbb, mert ha nincs róla megegyezés, akkor mindenki más eredményre jut. Ez a tény szült egy műveleti sorrendet, amely "logikusnak tűnt".

#16: Nagyjából én is ezt írtam, csak nem ennyire világosan. Egy ideje azon gondolkozom, hogy hogyan kéne megváltoznia a nyelvnek, hogy egyszerűen -- hallás után -- tudjuk leírni azt matematikailag: három alma, négy körte és két narancs; 3*4-es deszkalap meg egy 6*5-s deszkalap.

A jelenlegi műveleteknél ezek adottak:

3alma + 4körte + 2narancs

3*4 deszlakap + 6*5 deszkalap

De ezt nem olyan könnyű átírni az alternatív műveletrenddel, legalább is nem könnyű kapásból leírni úgy, hogy éppen az legyen az eredmény (max zárójelekkel, de az csak megbonyolítja a dolgokat).