Hatvány, tört láthatatlan zárójel?

Itt, kommentben írni ilyeneket tényleg nehezebb ill. a szemnek zavaró. De matematikai jelölés szempontjából a nevező/osztó a számlálóhoz tartozik - azaz ami a vonal felett van - ami vizuálisan tök egyértelmű. A hatvány is az kéne legyen, ahhoz tartozik aminek a sarkába felírták, ha az egy zárójel, akkor az egész zárójeles részre.

Aztán van a "kisiskolás" osztásjel, de azt ugyan úgy ahogy az összeadás, kivonás, szorzás:

7÷6÷11+5-7÷2 = definíció szerint! = (((7÷6)÷11)+5)-((99*7)÷2) :) vili?

Az a gond, hogy a matematikának nincs se Bibliája, se törvénykönyve. Ad hoc jelleggel honosodtak meg jelölésmódok, keveredik is bennük a prefix, az infix, a posztfix, az operátor-, az index írásmód, és ehhez jönnek még hozzá extra jelölésmódok, mint pl. a tört, a gyökvonás. A műveletek elvégzésének a sorrendjéről kialakult egyfajta közmegegyezés, de igazából nincs ez kőbe vésve, hogy ki milyen műveleteket tesz bele, vagy hagy ki, az eltérhet. De általában ez szokott lenni:

1. Elsőnek a zárójelbe tett kifejezéseket kell feloldani.

2. Ezután a hatványozást kell elvégezni.

3. Ezt követően az osztást és a szorzást kell elvégezni.

4. Ezt követően kell az összeadást és kivonást elvégezni.

+1. Az azonos rendű műveletek esetén általában a műveleteket balról jobbra végezzük el, hatványtorony esetén fentről lefele, pl.: 2^3^4 = 2^(3^4).

Magyarán a magasabb rendű műveletek elsőbbséget élveznek. Javarészt azért alakult ki ez, mert egyrészt praktikusabb, másrészt az ember a hétköznapokban is így beszél: Van két almám, meg három körtém, azaz:

2 * 🍎 + 3 * 🍐 = (2 * 🍎)+ (3 * 🍐)

Van a lakásban egy 12 négyzetméteres meg egy 20 négyzetméteres szoba, azaz (kicsit pongyolán felírva):

12 * m² + 20 * m² = [12 * (m²)] + [20 * (m²)]

~ ~ ~

A tört, aminek felül van egy számlálója, lent egy nevezője és a kettőt egy vízszintes vonal választja el, az speciális jelölés, ez nyilván meghatározza, hogy a számlálót kell osztani a nevezővel. Ha a számláló és/vagy a nevező komplex kifejezés, akkor nyilván előbb azt kell feloldani. A törtvonal tulajdonképpen automatikusan zárójelezi a számlálót, a nevezőt és a törtet magát. Ha tört került a számlálóba, illetve a nevezőbe, akkor szokás a törtvonal hosszával is jelezni, hogy ki kivel van.

A gyökvonás is speciális jelöléssel bír, hiszen a gyökjel eleje és vége meghatározza, hogy mire vonatkozik a művelet. Ha ez egy hosszabb kifejezés, akkor nyilván ennek a kifejezésnek az egészére, tehát előbb a kifejezést kell kiértékelni, magyarán a gyökjel egyfajta zárójelként is funkcionál.

(Más területen is vannak ilyen műveleti sorrendek, pl. logikai műveleteknél is megvan, hogy először a negációt kell elvégezni, után az és kapcsolatok, és végül a vagy kapcsolatok következnek.)

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

Viszont ez nem fed le minden matematikai műveletet és írásmódot. Pl. a faktoriálist ritkán látom felsorolva a műveleti sorrendben, de általában magasabb rendűnek szokták kezelni a szorzásnál: 2*3! = 2*(3!) és nem (2*3)!. (A jelölésmód jellegzetessége miatt a hatványozással nem veszik össze, nem lehet kétértelmű módon felírni kétértelmű kifejezést.)

A trigonometrikus függvényeket vagy a logaritmust sem fedi le ez a szabály. Itt javarészt úgy kezelik, hogy a függvénynek egytagú kifejezés a paramétere, ha nem, akkor zárójelbe illik tenni. Pl: sinɑ vagy sin(c+β). Viszont van az a felírás, ami zavarba ejtő tud lenni. Pl.: sin2ɑ. Itt érezzük, hogy a kifejezést leíró szándéka nem az, hogy a kettő szinuszát kell venni és azt megszorozni alfával, hanem a két alfát kell kiszámolni, és utána venni a szinuszát. Ilyen pongyolaság elő tud fordulni, de a kontextusból általában kiderül, hogy miről van szó.

Gyakori vita, hogy az előjel hol van ebben az egészben. Van, aki kvázi nullából való kivonásként kezelve a kivonással egyenértékűként kezeli. (A legtöbb számológép, illetve programnyelv is így tesz.) Mások szerint az előjel a szám jelölésének az elválaszthatatlan része, aminek kicsit ellentmond, hogy előjele lehet változónak, ismeretlennek, konstansnak, sőt komplett kifejezésnek is, tehát műveletként viselkedik. Ugye a -3² esetén nem mindegy, hogy (-3)²-ről, azaz 9-ről van szó, vagy -(3²) = -9 ennek az értelmezése. Az ilyen jelölés kerülendő, ha más ír ilyet, akkor megint a kontextus segít eligazodni.

Szintén gyakori vita tárgya, hogy az operátor írásmód (azaz a műveleti jel elhagyása) implikál-e műveleti elsőbbséget. A válasz meg az, hogy nem egyértelmű, az ilyen írásmód szintén kerülendő, zárójelekkel egyértelművé teendő. Pl.:

12/2(5-2)

Az egyik tábor azt mondja – és jogosan –, hogy a műveletek azok egy adott jelentéssel bírnak, függetlenül attól, hogy milyen jelekkel írjuk le az adott műveletet. Ha az egybeírás infix jelöléssel szorzásjelre cserélem, akkor ezt kapom:

12/2*(5-2) = 12/2*3

És mivel a szorzás és osztás egyenrangú művelet, így balról jobbra illik elvégezni, azaz 12/2*3=6*3=18

Más meg azt tartja, hogy adott esetben az operátor írásmód jelölhet műveleti elsőbbséget. Előfordul olyan kifejezés, hogy:

3x/2x

Ahol érezzük, hogy a „költő” arra gondolt, hogy a 3x-et kell osztani a 2x-szel, azaz:

3x/2x = (3*x)/(2*x)

és nem arra, hogy:

3*x/2*x = ((3*x)/2)*x = 3/2*x²

Az operátor írásmódot egy szám egészrész, törtrészénél is használjuk, Pl.: 3½ = 3 + ½. Itt is érezzük, hogy ez műveleti elsőbbséget kívánna, egy 2*3½ esetén sokkal inkább érezzük a 2*(3½) értelmezést jogosnak, mintsem a (2*3)+½ értelmezést.

És még lehetne találni ilyen furcsaságokat. Pl. egy x²y kifejezésnél a felső indexbe írt kettest akár lehetne az y tetrációjának is értelmezni. De a probléma annyira nem zavaró, az ember le tudja írni egyértelműen, amit akar, a kérdéses értelmű kifejezéseket zárójelezéssel egyértelművé lehet tenni és szokás is, ajánlott is, illendő is így tenni.