A halmazelmélet és logika hogyan kapcsolódik egymáshoz?

Legfőképp a műveletekben azonosak, például;

AunióB = AvagyB

AmetszetB = AésB

Akomplementer = Anegált

A halmaznak (pl páros számok halmaza) megfeleltethető egy olyan állítás, aminek a tárgya az adott halmazhoz tartozást fejezi ki (az adott szám páros). Így mikor igaz és hamis állításokat vetünk össze, és következtetünk belőlük, óhatatlanul az ezen állításoknak eleget tevő halmazokból is következtetéseket vonunk le. Ha esik az eső ÉS süt a nap, akkor szivárvány van: logika. Ha a mi helyzetünk része az esős helyek halmazának is, és a napsütéses helyek halmazának is, akkor egyben szükségszerűen része a szivárványos helyek halmazának is (halmazelmélet). A szivárványos helyek halmaza az esős és a napsütéses helyek halmazának a metszete. A metszet megfeleltethető az logikai és műveletének.

Kvázi amíg a logika egyedi kijelentések összefüggéseit írja le, addig a halmazelmélet általában minden olyan entitást kezel, amire az adott kijelentés igaz, ezt nevezi halmaznak, és ezek összefüggéseit írja le. Szinte ugyanazt tárgyalják, csak más szemlélettel.

Persze idővel azért szétválnak a dolgok, az egyik szemléletében értelmezhetők olyan összefüggések, amik a másiknál pont a szemlélet mássága miatt nem. Logikai kijelentések között nem lehet leképezéseket felírni, míg halmazok elemi között meg igen.

Mind kettő leginkább a Boole algebrával írható le. Rengeteg hasonlóság van köztük. Most van egy nagy matematikus születésének 120. évfordulója volt több ilyen témájú cikk és előadás több helyen, mert az illető foglalkozott mind a matematikai logikával, mind a halmazelmélettel is.

Egyébként Boole eredetileg a halmazelmélet leírásához dolgozta ki a Boole algebrát, amiről később bizonyították be, hogy alkalmazható a logika leírására is (mi még úgy tanultuk, hogy ezek Boole strukturák, most van valami új elnvezés rájuk, de azt nem tudom mert én még régebben tanultam, és azóta csak "gyakorlatban használom" nem az elméletet és a legújabb szóhasználatot követem).

A halmazok a nyelvi fogalmak között már a kezdeteknél megjelennek. Maguk a formulák is bizonyos szimbólum-sorozatok ugye, a sorozatok pedig bizonyos halmazok. Különösen a felhasznált definíciós és bizonyítási módszerek (indukció, rekurzió) igényelnek halmazelméleti megalapozást.

Csakhogy az, hogy mi a halmaz és mikor igaz egy halmazokról szóló állítás, miként következtethetünk rá, az viszont axiómák és egy levezethetőség-reláció segítségével van leírva, tehát éppen a logikai szintaxis eszközeivel van megalapozva.

Ha jól veszem ki a kérdést, ez az a körkörösség, amibe a kérdező belefutott. Elméletileg létezik a problémának kielégítő feloldása, viszont nem tudok olyan tankönyvről, ami ezt kielégítően ismertetné. Sajnos a matematikusok meglehetősen igénytelenül állnak ehhez a kérdéshez. A tanuláshoz azt javaslom, hogy tartsd kézénél a logikai és a halmazelmélet szemléletű könyvedet is, olvasd egyszerre illetve felváltva a kettőt, érts meg minél többet belőlük, aztán a végére összeáll majd a fejedben a kép.

"Logikai kijelentések között nem lehet leképezéseket felírni"

Már hogyne lehetne.