Elképzelhető olyan continuum halmaz, amiben az elemeknek van rákövetkezője?

Jó napot kívánok! Be van állítva a kulcsszófigyelőm a #szukcesszió-ra, és ezúton is köszönöm a kérdezőnek hogy rendeltetésszerűen kitölti a kulcsszavakat, aminek hála egyetlen szukcesszióval kapcsolatos kérdést sem mulasztok el.

Sajnos jelen esetben nem tudok válasszal szolgálni, ugyanis én elsősorban a királyi házak szukcesszióval kapcsolatos kérdéseinek vagyok szakértője, szabadidőmben pedig az ökológiai szukcesszióval foglalkozom, a halmazelmélet azonban nem tartozik az erősségeim közé.

A szukcesszió eleve egy természetes számok halmazán értelmezett művelet. Ez gyakorlatilag egy egyváltozós függvény, ami egy természetes számhoz egy másik természetes számot rendel hozzá.

Lehet valós számok körében is definiálni olyan függvényt, ami egy valós számhoz egy másik valós számot rendel hozzá. Sőt még hasonlít is a természetes számok szukcesszió műveletére. Pl.:

S : x → x+1

(Magyarán az S függvény/művelet x-nél pontosan 1-gyel nagyobb értéket ad vissza.)

Pl.:

S(0) = 1

S(4) = 5

S(2,3) = 3,3

S(π) = π+1 = 4,14159265…

Vagy:

S : x → ⌈x⌉ ha x∉ℕ; x+1 ha x∈ℕ

Máshogy: S : x → ⌊x⌋ + 1

(Magyarán az S függvény/művelet a legkisebb x-nél nagyobb egészt adja vissza.)

Pl.:

S(0) = 1

S(4) = 5

S(2,3) = 3

S(π) = 4

(Ez utóbbi ugye nem injektív leképezés, alapvetően egy ℝ→ℕ leképezés.)

Mindkettőnek az a sajátossága, hogy ha az operandus természetes szám, akkor mindkettő ekvivalens a természetes számokon értelmezett szukcesszió műveletével. A művelet értelmezve van minden valós számra, és minden valós számnak pontosan egy „rákövetkezőjét” definiáltuk így. Annyiban is hasonlít a fenti két függvény a szukcesszióhoz, hogy ∀x(x < S(x)).

De kérdés, hogy az így meghatározott műveletet, függvényt illik-e, szabad-e, érdemes-e szukcessziónak nevezni. Nos… Szerintem – finoman szólva – nem szerencsés.

Illetve ugye itt – A Peano aritmetikával ellentétben – nem lehet egy adott x számból kizárólag a szukcesszió műveletével eljutni egy y számig. A Peano-féle axiómarendszerben pont az a pláne, hogy a nulla a kiindulópont, minden más szám a nullával és a szukcesszióval van definiálva:

1 ≝ S(0)

2 ≝ S(1) = S(S(0))

3 ≝ S(2) = S(S(1)) = S(S(S(0)))

Valós számok esetén így nem lehet minden valós számot egyetlen konstansból a szukcesszióval definiálni.

~ ~ ~

Ha egyetlen valós számból és a szukcesszió (vagy annak inverz) műveletével definiálható lehetne az összes valós szám, akkor kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést lehetne létrehozni a valós és a természetes számok között, ami azt jelenti, hogy a számosságuk megegyezik. Ez meg ugye nem lehetséges, |ℕ| < |ℝ|

Pontosítani kell a kérdést!

1. Mit értesz azon, hogy rákövetkező?

2. Minden elemnek van rákövetketője, vagy csak néhánynak?

A "rákövetkező" a magyar nyelvben azt jelenti, hogy van valamilyen rendezés, és ebben egy valami után következő úgy, hogy közöttük nincs semmi.

Tehát a kérdés erre irányul. A kontinuum egy halmaznál azt jelenti, hogy nem rendezhető, más szóval, a racionális számok (rendezhető) halmazának számosságánál nagyobb számosságú (tehát nem rendezhető) halmaz. Ha nem rendezhető, akkor nem lehet értelmezni a "következő" fogalmát.

#5

Legyen A:={...a-2; a-1; a0; a1; ..., an; ...} halmaz a kontinuum számosságú halmaz megszámlálhatóan végtelen részhalmaza úgy, hogy

... a-2R'a-1; a-1R'a1; a0R'a1; a1R'a2; ...!

Tekintettel arra, hogy A megszámlálhatóan végtelen, akkor létezik olyan b eleme a kontinuum halmaznak, ami nem eleme az A-nak. Akkor a b hol van a rendezésben?

Egyébként, Ha ezt mondod, hogy

"Tudjuk a halmaz elemeit valamilyen szempontból egyértelműen sorrendbe rakni egy R reláció szerint: a0 R a1, a1 R a2, a2 R a3, stb. ",

Ezzel azt is mondod, hogy a halmaz megszámlálhatóan végtelen, hiszen létezik bijekció a halmaz és a természetes számok között.

#1 "Ha a rákövetkezőt úgy érted, hogy a halmaz rendezett, és bármely eleméhez van olyan nála nagyobb eleme úgy hogy a kettő között nincs halmaz elem, akkor nem."

Ez nem igaz, ugye? Ha feltesszük a continuum hipotézist, akkor például az első nem megszámlálható rendszám [link] ellenpélda