Értelmezhető egy egyszerű egyenlet logikai állításként, ha az ismeretlen értelmezési tartománya egy egyetlen elemet tartalmazó halmaz?

"x < 5 azért nem lehet logikai állítás"

De lehet, csak az értéke függ x értékétől. Ahogy pl. az x+5 is egy kifejezés.

"Egy szabad változókat tartalmazó kijelentést szokás igazságfüggvénynek, logikai függvénynek, szaknyelven predikátumnak is nevezni, a W értelmezési tartománnyal – ez utóbbi azon dolgok halmaza, melyek neveit behelyettesíthetjük a szabad változó helyébe úgy, hogy továbbra is kijelentést kapjunk (azaz legyen az egésznek értelme és lehessen arról beszélni, hogy igaz-e vagy sem, még ha ez nem is dönthető el)."

[link]

szerintem, ha megadtad a kettőt, mint értelmezési tartomány, akkor a fenti x<5 egyenletet tekinthetjük állításként, mert az x-et behatároltad.

Innentől, ha más esetet szeretnénk vizsgálni, mert más van megadva az x-nek, akkor kvantorokat használunk.

Univerzális kvantor (jele: fejre állított A; minden elemre igaz)

Ha x ∈ ]-végtelen; 5[, akkor mindig igaz az állítás (5-nél nyílt intervallum van, tőle kifelé áll a zárójel, az nem tartozik bele)

Ugyanez van, ha x csak bizonyos számú elemet tartalmaz, de mind kisebb mint 5, pl. x ∈ {-5, -2, 0, 1, 2, 4}

Egzisztenciális kvantor (nem az összes elemre igaz), akkor ha x az összes valós számot tartalmazza, vagy az x halmaza/intervalluma az állítást igazzá tevő számok mellett olyanokat is tartalmaz, ami 5-nél nagyobb vagy egyenlő nála.

Ha az x halamazában/intervallumában csak az 5 és olyan számok vannak, amik 5-nél nagyobbak, akkor az állítás nem lesz igaz, olyankor egy x sincs, amire igaz lenne (ez az egzisztenciális kvantor jele áthúzva). A kvantorjeleket mindig a vizsgálandó változó betűjele elé írjuk. Analízis I.-en egyetemen már szó lesz ilyenről

#3:

Az "x < 5" semmiképp nem állítás. Sőt, nincsen olyan fogalom a matematikában, hogy állítás.

Van, aki megpróbálja definiálni, például VÁRTERÉSZ MAGDA: Az informatika logikai alapjai előadások (2006) jegyzetében[0] a 4-es oldalon írja, hogy x < 3 nem állítás, mert nem eldönthető (tartalmaz szabad változót).

Én is így használom. Mindenesetre nem része a matematikai szaknyelvnek.

[0] : [link]

A matematika "formula" fogalmát nevezzük a köznyelvben állításnak. Bármely predikátum argumentumhelyeire terminusokat írva formulát kapunk, ezért "x < 5" formula, akár tartalmaz szabad változót, akár nem.

Amit a 4.oldalon ír, az csak a bevezető rizsa része, nem valódi definíció, hiszen nem definiált matematikailag sem a "kijelentő mondat", sem az, hogy "egyértelmű információt hordoz". Igazságértékkel pedig minden formula bír, ha megadunk egy struktúrát és egy változókiértékelést.

Mellesleg a formulák zártsága sem esik egybe azzal, amit eldönthetőségnek (vagy állításnak) szeretnél nevezni. Zárt formulák sem "hordoznak egyértelmű információt", mivel többféleképpen is interpretálhatóak; és igazságértékük sem rögzített, mivel továbbra is függ a struktúrától. Pl. "1+1 = 0" Z2-ben igaz, Z3-ban hamis.

Ha teszel egy kijelentést, az mindig értelmezhető logikai állításként.

És ebből következően az állítás vagy igaz vagy hamis.

Az állításokat vizsgálhatjuk bonyolultságuk szerint is, így például 2 < 5 egy triviális állítás és igaz, miközben a 2 > 5 is triviális állítás és hamis. Mondhatod azt is, ma délben a Balaton vize 20 és 30 fok között van. Matematikailag, felosztjuk a Balaton vizét olyan térfogatokra, amelyek hőmérséklete azonos. Ekkor a Balaton vize egy N elemű halmaz (ahol N egy elég nagy szám), továbbá e halmaz minden elemét egy szám jellemzi, amit hőmérsékletnek nevezünk, és az állítás az, hogy A halmaz minden eleme 20 és 30 közé esik. ennek a bizonyítása egy elég macerás dolog, ez tehát egy nemtriviális (bonyolult) állítás. De elvilegsemmi akadálya, hogy eldöntsük az állítás igaz vagy hamis voltát.