A nulla hogyan lehet egész szám?

Ez egy nagyon érdekes kérdés, előre is elnézést, ha hosszú leszek!

>A nulla egy szakadás a számegyenesen, nincs neki értéke, (...) semmilyen

Erről az jut eszembe, amikor kilencedikben a matektanárom mesélt az imaginárius egységről, és említette, hogy nem egy valós szám. Erre az egyik osztálytársam bemondta, hogy akkor nem is létezik. A tanárnő meg visszakérdezett, hogy: "Miért, a kettő létezik?"

Mit akarok ezzel mondani? A számok, - még az egész számok is - absztrakt matematikai fogalmak, amik mennyiségeket jelképezhetnek.

Az emberiség történelmében a számokat először akkor kezdték használni, amikor meg kellett számolni valamit, például juhokat. Ha van három juhod, hogyan számolod meg őket? Bijekcióval: az egyik halmaz három juh, a másik pedig az {1, 2, 3}. Az elsőhöz hozzárendeled az egyet, a másodikhoz a kettőt, a harmadikhoz pedig a hármat.

És mi van akkor, ha nincs egy juhom se? Akkor nulla juhom van! A nulla az a szimbólum, amihez a semmit rendeljük hozzá, a semmit jelképezi.

Az, hogy a semmi létezik-e egy komoly filozófiai kérdés, például itt van róla Besenyő I. V. István értekezése: [link]

De az, hogy a semmit leíró szimbólum, a nulla létezik-e, nem kérdés. Igen! Természetesen nem a valóságban, hanem a matematika világában. És ez nem csak a nullára vonatkozik, hanem például a kettőre is, ahogy említettem.

~~~

>nem lehet egész szám

Akár már természetes szám is lehet, ez értelmezés kérdése. Ha úgy értelmezzük a természetes számokat, mint nemnegatív számok, akkor természetes szám; ha pedig úgy, mint pozitív számok, akkor nem az.

Viszont mindenképpen egész szám. Egyrészt azért, mert ez az egész számok fogalma. Z={0, 1, -1, 2, -2, ...}

Másrészt pedig az alapműveletek és a számhalmazok kapcsolata miatt. Vegyük kiindulásnak a pozitív egész számokat. Ebben a számkörben az összeadás és a szorzás gond nélkül használható. Ha összeadunk vagy összeszorzunk n db pozitív egész számot biztos, hogy pozitív egész számot kapunk.

A kivonás viszont már nem. A 7-5 esetében még jók vagyunk, de az 5-7-nél már -2-t kapunk, ami nem pozitív. Kilépünk a természetes számok halmazából, az egészekébe, de ott is maradunk. Akármilyen egész számot kivonhatunk másik egészből, a különbség mindig egész lesz.

Abból, hogy 5-5=0 vagy -2-(-2)=0 az látszik, hogy a nulla elő tud állni két egész szám különbségéből, tehát maga is egész szám.

~~~

Még valami:

A nullát végtelen alakban le lehet írni. Például 1-1, cos(π/2), sinπ, f'(c), stb. De a legegyszerűbb alakban: 0. Ebben nincs, se tizedesvessző, se törtvonal. Még egy ok, amiért egész szám. :)

Hogy stílszerű legyek: nem semmi kérdést tettél fel, kérdező! Ráadásul igazad is van. A probléma abból fakad, hogy valamilyen szinten az összes többi hozzászólónak is.

Ha nekem kellene a kérdésed logikai terében a nullát, mint számot definiálnom, az kb. így hangzana: a nulla egy többnyire páros jellegű egész számmá is tehető szám.

Többnyire? Tehető? Páros jellegű? A matematikusok az ilyen kifejezésekért körberöhögnének...

Ha viszont azt mondanám, hogy a nulla egy "csak nemdetermináltan definiálható szám", akkor meg (szerintük) halandzsáznék.

A probléma az, hogy a teljes értékű válaszhoz szükséges lenne a "Prokopf kiegészítés". Ráadásul a Collatz tétel bizonyításának felvezetőjében részben éppen ezt a problémát használom fel arra, hogy a matematikai műveletek irányának determináltsága hogyan vezet el a "származtatás" nevű művelethez, aminek segítségével a tétel bizonyítható.

De adok egy kis előzetest. A nulla, mint szám a matematika alfája és omegája (egyben, mivel paradoxonikus, a legnagyobb korlátja is - ezt ismeri fel a "Prokopf kiegészítés"). Minden létező és létezővé tehető szám (nemcsak a természetes számok!) a számértékét a nullától való különbözőségétől kapja, és ez a különbség éppen a számérték. Az egy azért egy, mert a nullától éppen eggyel különbözik. De ez igaz négyzetgyök kettőre, illetve egyhetedre is! Ezért mondom azt, hogy természetes számmá (is!) "tehető". (Feltételezésem, hogy hasonlóan kell tekintenünk az előjelére is.)

Miért páros egész? Mert - ha elfogadom, hogy egész, akkor - maradék nélkül osztható kettővel (ez a páros számok definíciója, de ebből még lesz probléma, mert a nulla bármely számmal osztva is önmaga), így teljesíti a paritásra vonatkozó következmény-szabályokat (g=páros, u=páratlan egész számok, g+u(1)=u(2), g(1)+g(2)=g(3), u(1)+u(2)=g, g(1)*u=g(2), u(1)*u(2)=u(3) stb. itt 0-ra akkor teljesülnek, ha 0=g) is.

De akkor miért mondom azt, hogy "páros jellegű", illetve "többnyire"? (A többi problémára {0⁰=1?, 0/0=1? utóbbi eleve kizárt a nullával oszthatóság tilalma miatt stb.} most nem térnék ki.)

Mert van olyan logikai tér, ahol a 0 nem teljesíti a párosság kritériumát, hanem egyértelműen megmutatkozik paradoxonikus, nem determinálható jellege. Ez pedig éppen a Collatz tétel ("(3*x+1)/2ⁿ" probléma) logikai tere. Nézzük a páros szám két eltérő definícióját:

A.) Matematika: g=2¹*x (g páros € T, x € T, {x=g, x=u nem számít!})

B.) Collatz: g=2ⁿ*u (megjegyzés: emiatt elégséges a tétel bizonyítása a páratlan számokra)

A következő állítás A=B igaz, ha n>0 természetes szám (megjegyzés: az egyenlőség B irányából határozott).

Tehát egy páros szám mindkét esetben páros szám lesz, kivéve a nullát.

Miért?

A 0 azért nem tudja teljesíteni a B.) szerinti párosságot, mert A.) szerint páros. Ugyanis ha a nulla páros lenne, és kettővel osztva önmagát hozza eredményül (ami ugye páros), akkor a művelet a végtelenségig ismételhető, de sohasem lesz a nulla páratlan.

De mi van, ha Collatz logikai terében a nulla páratlan szám? Ellenőrizzük! 3*0+1=1, Collatz teljesült, elérkeztünk egyhez. Tehát a nulla Collatz logikai terében páratlan szám lenne?

Nem. Ugyanis nem teljesíti a paritásra vonatkozó következmény-szabályokat (lásd fentebb!). Azok alapján még mindig párosnak kellene lennie.

A fentiek alapján indokolt a szóhasználatom, hogy "többnyire páros jellegű". És talán arra is sikerült rávilágítanom, hogy a "csak nemdetermináltan definiálható" kifejezés lehet, hogy még sem akkora halandzsa.

Mivel Collatz logikai terében nem eldönthető a nulla paritása, itt pedig az alkalmazandó műveletek paritásfüggően választhatóak (valójában determináltak) így a nullára a Collatz tétel alkalmazhatatlan (egész pontosan csak rendkívül korlátozottan alkalmazható).

A többit majd publikálom...a megfelelő helyen.