Egy pozitív egész tagokból álló sorozat rekurzív definíciója: a(n+1)=a(n)/2, ha a(n) páros a(n+1)=3*(a(n)+1), ha a(n) páratlan. Igaz-e, hogy bármely a(1) pozitív egész szám esetén a sorozatnak tagja a 3?

a₁ = 1

esetén így néz ki a sorozat:

1, 2, 1, 2, 1, 2…

a₁ = 5

esetén így néz ki a sorozat:

5, 14, 7, 20, 10, 5, (innen ismétlődik az egész)

És nyilván a fenti sorozat bármelyik elemével kezdődő sorozat is így ismétlődik, a₁=5, a₁=7, illetve ezek 2ⁿ-szeresei is.

a₁ = 9

esetén:

9, 25, 13, 38, 19, 56, 28, 14 (és innen belefutottunk az a₁=5 sorozat egyik elemébe, az fog ciklikusan ismétlődni)

És ezzel bekerült az 1-et (vagy 3-at) nem érintő sorozatok közé a 13, 19, 25 és ezek 2ⁿ-szeresei is.

Még egy különc sorozat az a₁=17, ami esetén a sorozat így néz ki:

17, 50, 25, 74, 37, 110, 55, 164, 82, 41, 122, 61, 182, 91, 272, 136, 68, 34, 17 (és innen nyilván ismétlődik az egész)

Ez egy olyan sorozat, ami nem érinti sem az 1-et, sem a 3-at, de az a₁=5 sorozat egyetlen elemét sem. Nyilván ebbe a klubba lépnek be az a₁∈{17, 25, 37, 41, 55, 61, 91}, illetve ezek 2ⁿ számú többszörösei is.

(Érdemes az „és mi van ha…” kérdés előtt legalább egy excelben megnézni a sorozat első néhány kezdőtagját. Különösebben levezetni sem kell semmit, csupán csak látszik, hogy mi a helyzet.)

Ahogy a #5 válaszomban leírtam a 3n+3 sorozat esetén:

I. Ha olyan számról indulunk, ami 3 egész számú többszöröse, akkor a sorozat elemei megegyeznek a 3n+1 sorozat elemeinek a 3-szorosával. Pl.:

3n+1 sorozat a₁=6 esetén

a₁ = 6

a₂ = 6/2 = 3

a₃ = 3*3+1 = 10

a₄ = 10 / 2 = 5

a₅ = 3*5+1 = 16

A 3n+1 sorozat b₁=18 esetén:

b₁ = 18

b₂ = 18/2 = 9 = 3*3 = 3*a₂

b₃ = 3*9+3 = 30 = 3*10 = 3*a₃

b₄ = 30/2= 15 = 3*5 = 3*a₄

b₅ = 3*15+3 = 48 = 3*16 = 3*a₅

Tehát ebben az esetben az b sorozat elemei a 3n+1 sorozat a₁=b₁/3 elemeinek a 3-szorosai lesznek.

~ ~ ~

II. Ha 3-mal nem osztható páros számmal kezdünk, akkor 3-mal nem osztható páros vagy páratlan számok jönnek. Amíg a sorozat elemi párosak, addig monoton csökkenő lesz a részsorozat, előbb utóbb vagy 1-be, vagy valamilyen 3-mal nem osztható más páratlan számba fogunk ütközni. Pl.:

b₁ = 40

b₂ = 40/2 = 20

b₃ = 20/2 = 10

b₄ = 10/2 = 5

vagy:

b₁ = 8

b₂ = 8/2 = 4

b₃ = 4/2 = 2

b₄ = 4/2 = 1

Innentől lásd a III. pontot.

~ ~ ~

III. Ha 3-mal nem osztható páratlan számmal kezdünk, akkor a 3n+3 = 3(n+1) miatt szükségszerűen egy 3-mal osztható (és mellékesen páros) számot fogunk kapni. Pl.:

b₁ = 5

b₂ = 3*5+3 = 3*(5+1) = 3*6 = 18

vagy

b₁ = 1

b₂ = 3*1+3 = 3*(1+1) = 3*2 = 6

Innen meg lásd a I. pontot. (A sorozat elemi a 3n+1 sorozat adott kezdőértékű elemeinek a 3-szorosaival fog folytatódni.)

~ ~ ~ ~ ~

Tehát az a sejtés, hogy a aₙ₊₁ = 3aₙ+3 (ha aₙ páratlan) sorozatnak bármely a₁∈ℕ esetén eleme a 3, az teljesen ekvivalens a Collatz-sejtéssel, ha a Collatz-sejtés sejtés igaz, akkor ez a sejtés is szükségszerűen igaz, ha a Collatz-sejtés nem igaz, akkor szükségszerűen ez a sejtés sem igaz. (Kb. annyira ekvivalens a két sejtés, mint amennyire „ez a szám páros” ekvivalens azzal, hogy „ennek a számnak a háromszorosa maradék nélkül osztható 6-tal”.)

Általánosíthatunk is.

Legyen egy sorozatunk:

aₙ₊₁ = aₙ / 2 (ha aₙ páros)

aₙ₊₁ = 3aₙ + p (ha aₙ páratlan)

ahol p páratlan.

Legyen egy másik sorozatunk:

bₙ = q*aₙ

Ahol q páratlan.

Ebben az esetben ha aₙ páros bₙ is páros, és akkor:

aₙ₊₁ = aₙ / 2

bₙ = q*aₙ

bₙ₊₁ = q*aₙ₊₁ = q*aₙ/2 = bₙ/2

Ha aₙ páratlan, akkor bₙ is páratlan, ekkor:

aₙ₊₁ = 3aₙ + p

bₙ = q*aₙ

bₙ₊₁ = q*aₙ₊₁ = q*(3aₙ + p) = 3*q*aₙ + q*p = 3bₙ + q*p

Ergo páratlan p és q esetén egy 3aₙ+p*q sorozatra vonatkozó q*p-t tartalmazó voltáról való sejtés visszavezethető a 3aₙ+p-re vonatkozó p-t tartalmazó sejtésre, mint szükséges feltételre. A 3n+3 sejtés a 3n+1 sejtésre, a 3n+9 sejtés a 3n+3 sejtésre, a 3n + 35 sejtés a 3n+7 vagy a 3n+5 sejtésre.

Innen nézve egy általánosabb alakú 3n+p problémánál elegendő vizsgálni azokat az eseteket, ahol p prím.

Vizsgáljuk meg a sorozat elemeit néhány kezdeti értékkel:

Ha a(1) = 1, akkor a(2) = 3, mert 1 páratlan, és a(2) = 3*(1+1) = 6/2 = 3.

Ha a(1) = 2, akkor a(2) = 1, mert 2 páros, és a(2) = 2/2 = 1.

Ha a(1) = 3, akkor a(2) = 10, mert 3 páratlan, és a(2) = 3*(3+1) = 12/2 = 6, majd a(3) = 3, mert 6 páros, és a(3) = 6/2 = 3.

Ha a(1) = 4, akkor a(2) = 2, majd a(3) = 1, tehát a 3 nem szerepel a sorozatban.

Ezek alapján látható, hogy a 3 csak akkor szerepel a sorozatban, ha az első elem páratlan. Ezért a megállítás nem igaz általánosan bármely pozitív egész számra.

#16: Páratlan szám esetén nincs kettővel való osztás.

a₁ = 1 esetén a₂ = 3*(1+1)=6 és nem 3.

De ha lenne, és ahogy írtad a₁=3 esetén a sorozat tartalmazza a 3-at, akkor szükségszerűen ennek minden 2ⁿ-szerese is tartalmazni fogja, hiszen a₁=6 esetén a₂=6/2=3.

Sőt ha a₁ a kettőnek egész számú hatványa akkor is, hiszen az a₁=2 sort ugyan elkezdted, de nem folytattad:

a₁ = 2

a₂ = 2/2 = 1

a₃ = 3*(1+1)/2 = 3

> Nézd meg a 3a(n)+5 sorozatot!

Nem nézem!

Inkább általánosítsunk

aₙ₊₁ = 3*aₙ + p

Ekkor:

a₁ = p

a₂ = 3*a₁ + p = 3*p + p = 4*p

Mivel ez biztos páros, így:

a₃ = a₂ / 2 = 4*p/2 = 2*p

A kettes szorzó miatt ez is biztos, hogy páros, így:

a₄ = a₃ / 2 = 2*p / 2 = p = a₁

Emiatt:

aₙ₊₃ = aₙ

Ez így soha nem érinti az 1-et, csak p-t, annak a kétszeresét és négyszeresét.

(p=1 esetén nyilván az a különbség, hogy p eleve egyenlő 1-el)