Lorentz transzformációt (idődilatációt) nagyon egyszerűen levezetné valaki nekem?

Promt: "Lorentz transzformációt (idődilatációt) nagyon egyszerűen levezetné valaki nekem?"

A Lorentz transzformáció az idő és a tér változásának elmélete, amelyet Albert Einstein a speciális relativitáselméletének részeként fejlesztett ki. Az idődilatáció azzal foglalkozik, hogy hogyan változik az idő mértéke két mozgó referenciarendszer között.

Az idődilatáció jellemzője, hogy egy mozgó óra lassabban jár, mint egy álló óra. Például, ha egy űrhajós a Föld körül kering, akkor az űrhajóban lévő órája lassabban fog járni, mint az álló órák a Földön.

A Lorentz transzformáció egy matematikai képlet, amely leírja az idődilatációt a mozgó referenciarendszer szemszögéből. A képlet az időt és a térkoordinátákat is tartalmazza, amelyek mindkét referenciarendszer számára megadhatók.

Az idődilatáció egy következménye a speciális relativitáselméletnek, amely szerint a fizikai törvények ugyanazok minden referenciarendszer számára, és a mozgásokat csak a tér és az idő változásai határozzák meg.

Először is, az idődilatáció és a Lorentz transzformáció az nem ugyanaz.

A Lorentz transzformáció általánosabb, és rondább alakú.

Az idődilatációt mutatom meg, méghozzá azt, hogy ha egy inerciarendszerben egy óra v sebességgel halad, akkor

: γ(v) := sqrt( 1/1-v^2/c^2 )

-szeresére lassul e mozgó órán a kattogás sebessége. Vagyis ha az óra ΔT ideig halad a rendszerben, és Δt idő telik el az órán, akkor

: ΔT/Δt = sqrt( 1/1-v^2/c^2 ).

A háromszögeket kicsit elhagyva (T:=ΔT, t:=t), reciprokot vonva és átrendezve Pitagorasz-típusú összefüggést kapunk:

: t^2/T^2 + (v/c)^2 = 1.

(Ez sajnos nem ekvivalens az előbbivel az előjelek miatt, de az most nem érdekel.)

Felszorozva T^2c^2-tel, a képlet a

: t^2c^2 + v^2 T^2 = c^2T^2

alakot ölti. Ezt akarom bizonyítani.

Ez pedig könnyen látszik, ha veszünk egy fényórát (két pont vagy tükör között egy fénysugár pattog és méri az időt), és a tengelyére merőlegesen sebességet adunk neki.

Pattogjon egy fénysugár az A és a B pontok között. A távolságuk c*t. Most adjuk ennek a fényórának v sebességet AB-re merőlegesen.

Az A-ból induló fénysugár B helyett B'-be érkezik, az ABB' háromszög egy derékszögű háromszög AB' átfogóval. AB' = c*T, AB = c*T, BB' = v*T, és felírva ezekre a Pitagorasz-tételt éppen a

: t^2c^2 + v^2 T^2 = c^2T^2

összefüggést kapjuk. (A fényóra így lassul, tehát minden más így lassul.)

Ugyanez egy kicsit máshogy angolul: [link]

2.

Nincs álló óra. A világegyetemben minden mozog.

Ha pl elindul a Földről egy űrhajó, akkor EGYMÁSHOZ képest távolodnak X sebességgel. Nincs kitüntetve a Föld. Miért választod ki az egyik objektumot, amikor egyenrangúak. Ilyen alapon az űrhajót is választhatnánk és azt mondhatnánk, hogy ni a Föld most húz el tőlünk 1 millió km/h-val, ott most lassabban öregednek.