Hogyan lehet megállapítani egy harmadfokú egyenletről, hogy pontosan hány megoldása van?

Gondolom az ax^3+bx^2+cx+d=0 alakú harmadfokú egyenletekre vagy kíváncsi.

Ezeknek teljes függvényvizsgálattal szoktuk megállapítani, hogy hány megoldásuk van, ahhoz deriválni kell tudni.

*Már ami a valós számok halmazát illeti.

Komplexben mindig 3 van neki.

Az egész és a racionális számok halmazán vizsgálva pedig a Rolle-féle gyöktétellel a legegyszerűbb megállapítani:

[link]

A komplex számok halmazán mindig 3 gyök van (multiplicitással együtt), de most gondolom az együtthatók és a megoldások (már amire kíváncsi vagy) valós számok.

Ezesetben azt kell tudni, hogy mindig 1 vagy 3 valós megoldás van.(multiplicitással együtt).

Ennél többet nem lehet mondani általánosan.

Mutatok egy konkrét példát, teljesen a hasamra ütök, úgy adom meg az egyenletet:

10x^3-13x^2+x-9 = 0

Megnézzük a bal oldalon lévő függvény tulajdonságait;

-határértékek a két végtelenben: -végtelen és végtelen, ezek között minden más értéket is felvesz a függvény, mivel folytonos, ezért a függvény értékkészlete a valós számok halmaza, amiben a 0 is benne van, tehát 1 megoldás biztosan lesz.

-derivált: harmadfokú függvényt nagyon egyszerű deriválni, csak az (x^n)'=n*x^(n-1) képletet kell használni tagonként, így kapjuk:

30x^2-26x+1

A deriváltról azt tudjuk, hogy ha egy adott x-re az értéke pozitív, akkor annál az x-nél a függvény szigorúan monoton nő, ha negatív, akkor csökken, ha pedig 0, akkor érdekes dolgok fordulhatnak elő, mint például ott lehet a függvénynek lokális vagy globális szélsőértéke. Most az előjelvizsgálatot megcsináltatom a WolframAlphával:

[link]

Nem lettek szép zérushelyei, de nem baj.

Ebből azt tudjuk kiolvasni, hogy ha x ~0,04-nél kisebb vagy ha ~0,83-nál nagyobb, akkor a derivált értékei mind pozitívak, tehát szigorúan monoton nő azon pontokban az eredeti függvény, ha pedig a kettő között van az x, akkor a derivált értéke negatív, vagyis szigorúan monoton csökken a függvény pontról-pontra.

Mivel az x=~0,04 esetén a növekedést csökkenés követi, ezért ott lokális maximum van (globális nem lehet, mert a függvény minden valós értékét felvesz), az x=~0,83-nál pedig a csökkenést növekedés követi, tehát ott lokális minimumnak kell lennie. Nézzük meg, hogy a derivált zérushelyeinél az eredeti függvény milyen értékeket vesz fel:

x=~0,04 esetén az érték kb. (-9), x=~0,83-nál kb. (-11). Nekünk most egyébként a pontos értékre nincs is szükségünk, csak az értékek előjelére.

Szóval ez a függvény érték szempontjából úgy néz ki, hogy -végtelenről "indul", elmegy (-9)-ig, aztán "visszakanyarodik" a (-11)-ig, majd onnan a +végtelen felé veszi az irányt. Ebből pedig azt a következtetést tudjuk levonni, hogy a 0-t csak egyszer tudja felvenni, amikor a (-11)-et elhagyva a vételen felé fordul. Hogy hol, azt különféle közelítő eljárásokkal tudjuk meghatározni. Itt még fontos hozzátenni, hogy mivel a függvény folytonos, ezért a Bolzano-Weierstrass-tétel biztosít minket arról, hogy a függvény valahol fel fogja venni a 0-t is értéknek.

Az eredeti függvény ábrája:

[link]

Ezen gyönyörűen látszik, amit le is írtam, vagyis a (-végtelen)-ből felmegy az érték (-9)-ig, utána lemegy kb. (-11)-ig, majd onnan újra felfelé halad.

De persze a harmadfokú egyenletekre van megoldóképlet, abból is meg lehet valahogyan határozni a zérushelyek számát, csak úgy, mint a másodfokú egyenletek esetében is. De én azt gondolom, hogy ez a levezetés sokkal szemléletesebb, mint a megoldóképlet.

Ha az egyenletet az egész számok halmazán vizsgálnánk, akkor Rolle gyöktételét tudnánk alkalmazni (lásd fent): az eredményt p/q alakban keressük (ahol p és q is egész), ahol a tétel értelmében:

p osztója a konstans tagnak, vagyis a (-9)-nek, hat ilyen szám van: -9, -3, -1, 1, 3, 9

q osztója a főegyütthatónak, vagyis a 10-nek, itt már 8 lehetőség van: -10, -5, -2, -1, 1, 2, 5, 10

Mivel p/q alakban keressük a megoldásokat, ezért itt az összes lehetséges módon fel kell írnunk az osztásokat. Nyilvánvaló okokból elég csak a pozitív osztókkal megtennünk ezt, mert az így kapott számokon kívül azok ellentettjei lesznek lehetséges megoldások. Tehát amik esélyesek:

9/10, 9/5, 9/2, 9/1, 3/10, 3/5, 3/2, 3/1, 1/10, 1/5, 1/2, 1/1, és ezek ellentettjeik, tehát 24-féle lehetőségünk van arra, hogy az egyenletnek racionális gyöke lehessen. Manuális behelyettesítések után (itt érdemes megjegyezni, hogy a helyettesítési érték kiszámítását leggyorsabban a Horner-táblázattal tudjuk kiszámolni: [link] azt kapjuk, hogy egyikre sem kapjuk a 0-t eredményül, tehát ennek az egyenletnek nincs racionális megoldása. Látható viszont, hogy más esetben akár sokkal több jelölt is lehet, azokat meg senki nem akarja végigszámolgatni, ezért erre az esetre is igaz, hogy érdemes a fenti levezetést elvégezni, hogy a lehetséges racionális számok körét tovább tudjuk csökkenteni (például most azt tudjuk, hogy a keresett x biztosan nagyobb 0,83-nál, tehát az ennél kisebb számok nem is jöhetnek számításba).

Ha az 10x^3-13x^2+x-9 = 0 egyenletben a végén lévő (-9) helyére +1-et írunk:

10x^3-13x^2+x+1 = 0, akkor ennek már 3 megoldása lesz. A levezetés lépései mind ugyanazok lesznek, kivéve azt, hogy az x=0,04-re és az x=0,83 esetén az eredeti függvényértékek változnak, és ezek ismeretében kell tudnunk a megfelelő következtetéseket levonni. Ha pedig racionális gyököket keresel, akkor p-nek már csak az 1-et kell tudnia osztani, arra meg nincs sok lehetőség.