Harmadfokú egyenlet megoldóképletének levezetése?

[link]

ejnye-ejnye

Szia,

A wikin elég sarkosan van leírva. Úgyhogy íme, leírom neked, ha még aktuális.

Mindenek előtt azt kell megnézzük, hogy az "alap" formából, hogyan írható át Tartaglia-alakúra az egyenlet. Ugyanis abban nincs négyzetes tag, és fel lehet rá írni egy egyetemes egyenletet.

Tehát erről: ax³+bx²+cx+d=0

Erre: y³+yp+q=0

Lássuk...

ax³+bx²+cx+d=0 /osszunk le a-val, mivel a≠0

x³+(b/a)x²+(c/a)x+(d/a)=0 /(a másodfokúéhoz hasonlóan) végezzünk el egy teljes harmadik hatvánnyá alakítást, mivel (m+n)³=m³+3m²n+3mn²+n³

Legyen m=x valamint n=(b/3a)

Így az azonosság x³+(b/a)x²+3(b/3a)²x+(b³/27a³) lenne.

Viszont ahhoz, hogy ez egyenlő legyen az eredeti egyenlettel, hozzá kell, adjuk a többi tagot, illetve ki kell vonnunk a "felesleges" értékeket. Tehát:

(x+b/3a)³-(b²/3a²)x-(b³/27a³)+(c/a)x+(d/a)

Kiemelünk x-et:

(x+b/3a)³+x[(c/a)-(b²/3a²)]+(d/a)-(b³/27a³)

Na, ez már kezd hasonlítani az oly' nagyon áhított alakra, de még nem teljesen. Legyen y=x+(b/3a)

Írjuk fel y³+yp+q=0 -t, hogy egyenlő legyen az eredeti egyenlettel:

(x+b/3a)³+[x+(b/3a)][(c/a)-(b²/3a²)]+(d/a)-(b³/27a³)-(bc/3a²)

Ez pedig ugyanaz. Ezekkel az "egyenlőségekkel" tudunk átváltani a kétféle alak között, mert:

y=x+(b/3a)

p=(c/a)-(b²/3a²)

q=(d/a)-(b³/27a³)-(bc/3a²)

No...

Írjuk fel y-t két ismeretlen különbségeként. Legyen y=t-u

Így tehát: y³=(t-u)³

Ha előttünk van egy (t-u)³ kocka felszabdalt képe, akkor csak a "szeletek"(téglatestek és kockák) területképleteit kell leírjuk. Ugye a nagy kocka éle így t lesz, az él egyik szakasza u, a másiké pedig t-u

Lássuk:

t³=u³+(t-u)³+2tu(t-u)+u²(t-u)+u(t-u)²

t³-u³=(t-u)³+(t-u)[2tu+u²+u(t-u)]

t³-u³=(t-u)³+(t-u)[2tu+u²+tu-u²]

t³-u³=(t-u)³+3tu(t-u)

Ez az alak meg már valamire kell, hogy emlékeztessen.

q=y³+py (Azért nem írom, hogy '-p', mert kb. mindegy, hiszen lehet negatív, pozitív, de akár nulla is a q értéke.)

Ebből kiírhatjuk, hogy:

q=t³-u³; y=t-u; p=3tu; u=p/3t

Na, és most tessék figyelni:

q=t³-(p³/27t³)

qt³=t⁶-(p³/27) Ez nullára rendezve egy másodfokú egyenlet t³-re:

(t³)²-qt³-(p/3)³=0

Megoldóképlet szerint:

t³=(q/2)±√[(q/2)²+(q/3)³] (Mer' ugye leosztunk itt néggyel, meg ilyenek... most nem írom le.)

t=³√(q/2)√[(q/2)²+(q/3)³]

Levezetve u-ra, ugyanezt kapjuk, csak a köbgyök után a (q/2) negatív előjelű lenne. Így a megoldóképlet:

y=³√(q/2)√[(q/2)²+(q/3)³]-³√-(q/2)√[(q/2)²+(q/3)³]

És ezt x-re az x=y-(b/3a) képlettel tudod visszavezetni.

Pepitában ennyi... igazából, nem bonyolult. (Én pl. magamtól vezettem le...)

Na, még annyi... hogy ott, ahol a válaszban 

8-t látsz, ott egy 2-es van, felső indexben... a végén pedig, ahol &

#8730;-t, ott egy köbgyök van.

Nem tudom, miért rendezte át, meg miért tördelte meg...

(jaj.. meg a végén már a p-ből, q lett.)

Ezer bocsánat.