Ennek mi a megoldása?

Ha annyira tudnánk, már megválaszoltuk volna.

Lehet, hogy van valami igen speciális megoldása, mint például a szimmetrikus negyedfokú egyenleteknek.

Lsd. itt a B.3697-es feladatot:

[link]

"x4-10x3+39x2+110x-275=0.

A baloldalt szorzattá alakítva (x2-11x+55)(x2+x-5)=0,"

Ez a lépés számomra azért magyarázatot igényelne. Hogy jött a megoldó erre a felbontásra? Mi a módszer?

Ilyen megoldásra éppen én is gondoltam... Csak ebben a levezetésben nincs olyan, hogy vezess be új ismeretlent, amit a feladat kér.

Bizonyított tétel, hogy minden negyedfokú kifejezés felírható két másodfokú kifejezés szorzataként (amik aztán vagy tovább bonthatóak elsőfokúakká, vagy nem), tehát ez biztosan felírható valami (ax^2+bx+c)*(dx^2+ex+f) alakban. Mivel most a főegyüttható 1, ezért biztosan lesz olyan megoldás, hogy a másodfokúak főegyütthatói is 1-ek, tehát a=d=1. Tehát itt tartunk:

x^4 - 10x^3 + 39x^2 + 110x - 275 = (x^2+bx+c)*(x^2+ex+f), kibontjuk a zárójeleket:

x^4 - 10x^3 + 39x^2 + 110x - 275 = x^4 + (b+e)*x^3 + (e*b+c+f)*x^2 + (b*f+e*c)*x + c*f

Két polinom akkor és csak akkor egyenlő, hogyha az azonos fokú polinomjaik együtthatói egyenlőek, tehát:

1=1 (ez mindig igaz)

-10 = b+e

39 = e*b+c+f

110 = b*f+e*c

-275 = c*f

Ez egy egyenletrendszer.

Az első egyenletből: b = -10-e

A negyedik egyenletből: c=-275/f, ezeket írjuk be a másik két egyenletbe:

39 = e*(-10-e) - 275/f + f

110 = (-10-e)*f - e*275/f

Most koncentráljunk ebből a kettőből a második egyenletre:

110 = (-10-e)*f - e*275/f, kibontjuk a zárójelet:

110 = -10f -e*f - e*275/f, kiemelünk e-t:

110 = e*(-f - 275/f) - 10f, kifejezzük e-t:

e = (110+10f)/(-f - 275/f), és ezt be tudjuk helyettesíteni a fenti kettőből az első egyenletbe:

39 = (110+10f)/(-f - 275/f)*(-10-(110+10f)/(-f - 275/f)) - 275/f + f

Ha itt végigkínlódjuk a rendezést, akkor a végén egy hatodfokú egyenletet kapunk, aminek ha van egy kis szerencsénk, akkor van vagy egész vagy racionális megoldása (ha egyik sincs, akkor nem tudunk továbbhaladni).

A Rolle-féle gyöktétellel:

[link]

meg tudjuk keresni az egyenlet racionális gyökeit (már ha léteznek), és nekünk bőven elég 1 megoldást találnunk, mert az alapján fel tudjuk írni az eredeti negyedfokú polinomunkat szorzatalakban, így pedig meg tudjuk oldani az eredeti egyenletet. Kibontás után a hatodfokú polinom főegyütthatója 1 lesz, ezért csak azt kell megnéznünk, hogy a konstans tag, ami most a 20796875, milyen számokkal osztható, és ezek lesznek a hatodfokú egyenlet esélyes megoldásai. Az osztók száma 28 (illetve 56, mert a negatív osztók is játszanak), és az abszolútértékben legkisebb megoldása ennek az egyenletnek az f=-5 lesz, ebből pedig a b;c;e számok is könnyen meghatározhatóak, tehát az eredeti negyedfokú polinomot fel tudjuk írni (x^2+bx+c)*(x^2+ex+f) alakban.

Biztosan van egyszerűbb megoldás is, arról nem tudok.