A valószínűség és a végtelen értelmezése egyben?

A probléma az, hogy otthon ezen elfilozofálgatsz és (magad szerint) ellentmondásokra jutsz, de ez csak azért van, mert nem tudod hogyan épül fel a valószínűségszámítás, illetve mit jelent a matematikában a végtelen.

Ráadásul belekeversz olyan dolgokat, hogy "végtelenszer eldobok egy kockát" stb. Igazából ennek semmi értelme. Annak lenne, ha leülnél, megtanulnád ezeket a fogalmakat és meg is értenéd, hogy miről szólnak.

Csak erre reagálnék: "Úgy tudom, hogyha végtelenszer (akár egyre kisebb mértékben) megközelítünk valamit, akkor el is érjük azt, akár a végtelent is."

Ez sem túl precíz megfogalmazás, nem tudom, hogy hogyan érted. De pl ha vesszük az (1/2)^n sorozatot, akkor végtelen lépéssel, folyamatosan közelítjük a nullát, de sosem érjük el.

Ott a hiba a gondolkodásodban, hogy a végtelenre úgy gondolsz, mint egy határozott értékű számra. A végtelen nem szám, hanem egy jelleg. Vannak bizonyos szám természetű tulajdonságai, bizonyos műveletek ha némileg átértelmezve is, de működnek vele, de vannak olyan tulajdonságok, amik egy számra értelmezhetők, a végtelenre meg nem. Pl. a végtelen nem páros, nem páratlan, nem egész, nem „nemegész”. Ezek a tulajdonságok nem értelmezhetők rá.

Két végtelen nem összehasonlítható kontextus nélkül. Olyan van, hogy egy kifejezést kiértékelve azt kapjuk, hogy az minden határon túl nő, minden/bármely végesnél nagyobb, egy másik kifejezés szintén, és a két kifejezés összevethető, de pusztán a végtelenek nem összehasonlíthatók.

Pl. egész számokból végtelen sok van. Páros számokból is végtelen sok van. Ha az egész számokból kivonjuk a páros számokat, akkor egy végtelen halmazt kapunk, a páratlan számok halmazát. Másrészt minden egész számhoz hozzá lehet rendelni egy és kizárólag egy páros számot (x-hez 2x-et), és minden páros számhoz hozzá lehet rendelni egy egész számot (x-hez az x/2-t), így minden számnak lesz pontosan egy párja, így az egész számok és a páros számok un. számossága azonos. Nem ellentmondás ez, a végtelen, mint jelleg egyszerűen így működik.

Ugyanígy lehet két végtelen halmaz különbsége akár véges is. Pl. a természetes számok halmaza végtelen. A többjegyű számok halmaza is végtelen. Ha az elsőből kivonjuk a másodikat, akkor az egyjegyű számok halmazát kapjuk, ami viszont véges.

~ ~ ~

> Úgy tudom, hogyha végtelenszer (akár egyre kisebb mértékben) megközelítünk valamit, akkor el is érjük azt, akár a végtelent is.

Valójában nem lehet végtelenszer megközelíteni valamit. A közelítő lépéseket véges alkalommal lehet elvégezni. Itt a korrekt kép az, és a „végtelenszer” azt jelenti, hogy valamit minden végesnél többször közelítünk meg. Ha ebből kirajzolódik valamiféle trend, akkor kirajzolódik. Pl. az f(x)=1/x függvény esetén ahogy növekszik az x értéke, úgy közelít az 1/x értéke a nullához. Minél nagyobb az x, annál közelebb lesz az 1/x a hullához. Ha minden határon túl („végtelenszer”) növeljük x értékét, akkor minden határon túl fog csökkenni az 1/x és a nulla közötti különbség.

Hibás, vagy pongyola azt mondani, hogy 1-et végtelennel osztva nullát kapunk. Nem, ez így nem igaz. A korrekt megfogalmazás az, hogy ahogy x tart a végtelen felé, úgy konvergál (végtelenül *közelít*) az 1/x értéke a nullához.

Van különbség aközött, hogy valaminek végtelenül kicsi (infinitezimális) a valószínűsége, és annak, hogy nulla a valószínűsége. Annak, hogy egy szabványos dobókockát végtelenszer feldobva egy kockát mindig 1-est dobsz, annak végtelenül kicsi az esélye. Annak, hogy dobni fogsz 7-est, annak nulla az esélye, lévén a szabványos dobókocka egyik oldalán sincs 7 pötty, ha van, akkor nem szabványos.

> Tehát végtelen bolygón van végtelen élet, (meg végtelenen nincs) de nincs minden bolygón élet nem? Ez ellentmondás.

Nem. Pont annyira nem, mint az, hogy bár végtelen páros szám van, nem minden szám páros.

"Tegyük fel, hogy adott univerzumban van végtelen föld szerű bolygó"

NE tegyük fel, mert ez nem igaz.

Az Univerzumban lévő anyag mennyisége véges. Adott, véges darabszámú részecske építi fel. Jelenlegi becsléseink alapján 10^80 és 10^100 db közé tehető a részecskék száma az Univerzumban. Nos ebből a véges számú részecskéből - nem kéne végtelen számú Föld-ről filozofálni!

A hozzászólások összességében nagyjából jók.

@20:49 Az se teljesen igaz : " "végtelenszer eldobok egy kockát" stb. Igazából ennek semmi értelme. "

Lásd például : [link] 8.-ik oldal

"Van különbség aközött, hogy valaminek végtelenül kicsi (infinitezimális) a valószínűsége, és annak, hogy nulla a valószínűsége. Annak, hogy egy szabványos dobókockát végtelenszer feldobva egy kockát mindig 1-est dobsz, annak végtelenül kicsi az esélye. Annak, hogy dobni fogsz 7-est, annak nulla az esélye, lévén a szabványos dobókocka egyik oldalán sincs 7 pötty, ha van, akkor nem szabványos."

Induljunk ki a definíciókból amik itt le vannak írva, nem megyek bele a részelteibe : [link]

4.-ik oldal szerint az egy nullsorozat, a következő dobás is egyes mint valószínűség. Így ezen valószínűség statisztikailag egyenértékű a zéróval.

A különbség az, hogy az egyik (a mindig 1-es dobás) eleme az eseménytérnek, a 7-es dobás pedig nem. Azaz az előbbi mint elméleti eset létezik, a másik pedig nem. Diszkrét valószínűségi eloszlásnál (eddig eről volt szó) zéró valószínűségű esemény nem lehetséges.

Folytonos eloszlásoknál lehetséges zéró valószínűségű esemény is. Például, 0-1 közötti valós számot választok az egyenletességi hipotézisnek megfelelően, ekkor kontinuum végtelen sok szám közül válaszottam egyet, minden számnak nulla a valószínűsége, de mégis egy számra került a választás.

"NE tegyük fel, mert ez nem igaz.

Az Univerzumban lévő anyag mennyisége véges. Adott, véges darabszámú részecske építi fel. Jelenlegi becsléseink alapján 10^80 és 10^100 db közé tehető a részecskék száma az Univerzumban. Nos ebből a véges számú részecskéből - nem kéne végtelen számú Föld-ről filozofálni!"

Összekevered az Univerzum anyagmennyiségét és a beláltható Univerzum anyagmennyiségét.

#2: "Van különbség aközött, hogy valaminek végtelenül kicsi (infinitezimális) a valószínűsége, és annak, hogy nulla a valószínűsége. Annak, hogy egy szabványos dobókockát végtelenszer feldobva egy kockát mindig 1-est dobsz, annak végtelenül kicsi az esélye. Annak, hogy dobni fogsz 7-est, annak nulla az esélye, lévén a szabványos dobókocka egyik oldalán sincs 7 pötty, ha van, akkor nem szabványos."

Teljes badarság. Végtelen elemszámú eseménytéren az igaz, hogy :

- az események valószínűsége 0-1 valós számok. Infinitezimális valószínűség nincsen, legalábbis a standard Kolmogorov-féle valószínségszámításban biztosan nincs

- az üreshalmazt lehetetlen eseménynek hívjuk, az esélye 0. Például kockadobás esetén a k>4 és k<3 események metszete az üreshalmaz.

- 0 esélyű események nem feltétlenül lehetetlenek. Például ha végtelen kockadobássorozatokról vagy arról van szó hogy kiböksz egy [0,1] valós számot egyenletes eloszlással, akkor _biztos_ hogy egy 0 esélyű esemény fog bekövetkezni. Nem lehetetlen, hanem biztos hogy bekövetkezik.

Heh. :D

Tehát annak a valószínűsége, hogy soha nem dobunk hatost, lim_n->∞(5/6)^n=0. De ettől még nem lehetetlen, hát mi tiltja meg?! Ez tankönyvpéldája annak, hogy a 0 valószínűségű és a lehetetlen esemény NEM ugyanaz. Hasonlóan, az 1 valószínűségű esemény sem a biztos esemény. Pl. maradva a dobókockás példánál.

Jelölje X_n az n-edik dobásnál dobott számot. Ekkor az X_n-ek független, azonos eloszlású véletlen változók véges(~15,17) második momentummal, ezért (X_1+...+X_n)/n->3,5 1 valószínűséggel, ez a 3,5 a dobott számot jellemző véletlen változó várható értéke. Ez a klasszikus nagy számok erős törvénye. (Aki esetleg régebben tanulta, annak megjegyezném, hogy 1981-ben Etemadi élesítette a tételt, nem kell véges második momentum, csak véges várható érték, bár ez itt most nem számít.)

Erről az Etemadiról van valami forrásod? Elég hihetetlen hogy 81-es eredmény lenne, és előtte ne ismerték volna a tételt, főleg hogy egyáltalán nem említik [0,1]. Viszont nem találtam meg, hogy ki bizonyította először, és mikor.

[0] : [link]

[1] : [link]

#7, innen tudod letölteni a cikket:

[link]

Elnézést, hogy nem tettem be forrást.

Illetve... a nagy számok törvényeinek történetéről néhány szót:

Az első megjelenés Bernoullinál van 1689-ben, a halála után, ez a nagy számok gyenge törvénye volt speciálisan indikátorváltozókra felírva, ezt csak a halála után, 1713-ban publikálták. Elég sokat váratott magára az erős törvény, 1909-ben írta csak fel Borel speciálisan érmefeldobásra, és végül az erős alak klasszikus alakját az I. Borel-Cantelli-lemma mentén Cantelli igazolta általánosan 1917-ben. Tehát ő azt igazolta, hogy ha X,X_1,... független, azonos eloszlású véletlen változók véges második momentummal, akkor (X_1+...+X_n)/n E(X)-hez konvergál majdnem biztosan.

Ugye ennek a bizonyítása nem egy nagy művelet, jelölje S_n a fenti véletlen változók összegét, ekkor

P(|S_k^2-k^2E(X)|/k^2>ε)⫹k^-2*D^2(X)/ε^2 a Csebisev-egyenlőtlenség miatt tetszőleges k természetes számra és ε>0-ra.

Az I. Borel-Cantelli-lemma miatt az |S_k^2-k^2E(X)|>k^2ε események közül majdnem biztosan csak véges sok következik be, azaz

S_k^2/k^2 -> E(X) majdnem biztosan.

Innen rendőrelvvel következik az állítás tetszőleges n-re.

Ugye itt a szórás miatt kell a második momentum, és Etemadi bizonyítása már majdhogynem szemtelenül egyszerű, hogy csak '81-ben került elő. :D

Mármint arra van-e forrásod, ő látta volna be 81-ben a nagy számok erős törvényét nem feltétlen véges szórású változókra...

Mind1 hagyjuk...