Mi értelme annak, hogy a valószínűségszámításban az a^x (0 < a < 1) helyett azt írják, hogy e^(-λ*x) (λ > 0)?

Ezzel írható fel a pozitív λ paraméterű exponenciális eloszlás sűrűségfüggvénye:

[link]

#4

Ezek szerint nem tudod, mit jelent a sűrűségfüggvény (vagy integrálni nem tudsz).

#6

Te magad erősítetted meg a hozzászólásaiddal.

Régi a kérdés, de megpróbálok válaszolni, hátha még az érdeklődésedre tart számot.

Először is egy X valószínűségi változó örökifjú tulajdonságú, ha

P(X>x+y|X>x)=P(X>y) minden x,y pozitív valós számra.

Azért fontos többek közt az e alap, mert a λ(>0) paraméterű exponenciális eloszlás az EGYETLEN örökifjú tulajdonságú folytonos valószínűségeloszlás. Ez így pongyola. Egész pontosan az mondható el, hogy ha az X véletlen változó folytonos, f sűrűségfüggvényű valószínűségi változó akkor és csak akkor örökifjú tulajdonságú, ha sűrűségfüggvénye f(y)=e^-λy, ha y>=0, 0, különben alakú valamely λ>0-ra. Nem kell elhinned nekem, be is bizonyítom.

Először is ha X~Exp(λ), akkor eloszlásfüggvénye definíció szerint:

F(x)=P(X<x)=∫_(-∞^x)f(y)dy=∫_(0^x)e^-λydy=1-e^λx, ha x>=0, 0 különben.

Ezért P(X>x)=e^-λx. Tehát a definícióban szereplő feltételes valószínűségre:

P(X>x+y|X>x)=P(X>x+y)/P(X>x)=e^-λ(x+y)/e^-λx=e^-λy, azaz minden λ>0-ra a az X~Exp(λ) valószínűségi változó csakugyan örökifjú tulajdonságú.

Megfordítva, tegyük most fel, hogy X folytonos valószínűségi változó f sűrűségfüggvénnyel és tegyük fel, hogy örökifjú. Belátjuk, hogy ekkor f(y)=e^-λy valamely pozitív λ-ra.

Jelöljük a P(X>x) valószínűséget T(x)-szel. Ekkor

-> Per definitionem T(x)=1-F(x), ahol F(x) X eloszlásfüggvénye

-> T(x) monoton csökkenő

-> T'(0) negatív.

Legyen λ:=-T'(0)

Ekkor a feltételes valószínűség és örökifjú tulajdonság definíciójában szereplő összefüggések

P(X>x+y)/P(X>x)=P(X>x) alakban írhatók, ami ekvivalens a

T(x+y)/T(x)=T(y) egyenlettel.

Íme a poén: y szerint differenciálva, y=0 választással egy pofonegyszerű differenciálegyenlet adódik, egyszerűen ki kell integrálni. Azt már nem írom le.

Inkább azt, hogy a megfordítás bizonyítása sántít. Ott, hogy T(x) nem monoton csökkenő, csak monoton nemnövekvő, azaz T'(0) éppen lehetne 0. Ezért nem teljesen pontos a bizonyítás. Meg lehet ezt kerülni, a Caughy-féle függvényegyenletnek nézz utána. :)