Van egy determinisztikus folyamat/dinamika, ami egy 0-1 sorozatot generál. Hogyan lehet eldönteni, hogy kaotikus-e?

A "kaotikus" egy emberi fogalom, nem egzakt tulajdonság. Szóval csak annyi a kérdés, hogy megtalálható-e benne és matematikailag kezelhető-e a szabályos mintázat, vagy azok kombinációja.

[link]

[link]

Egyébként ha mélyebben érdekel a téma, akkor adatsor információtartalmának nézz utána. Minél nagyobb az információtartalma, annál inkább tekinthető kaotikusnak.

[link]

"A "kaotikus" egy emberi fogalom, nem egzakt tulajdonság."

"A káoszelmélet olyan egyszerű nemlineáris dinamikai rendszerekkel foglalkozik, amelyek viselkedése az őket meghatározó determinisztikus törvényszerűségek ellenére sem jelezhető hosszú időre előre. Az ilyen rendszerek érzékenyek a kezdőfeltételekre (lásd pillangóhatás). A sok összetevőből álló, bonyolult rendszerekről (például légkör, turbulens folyadékáramlás, lemeztektonika, gazdasági folyamatok stb.) régóta ismert, hogy bonyolult lehet a viselkedésük. A káoszelmélet nagy eredménye azonban annak kimutatása, hogy egyszerű, néhány állapotjelzővel leírható determinisztikus rendszerek is mutathatnak összetett, megjósolhatatlan viselkedést. Determinisztikus voltuk ellenére a kaotikus rendszerek állapotjelzői elsősorban statisztikus módszerekkel írhatóak le." [link]

"Szóval csak annyi a kérdés, hogy megtalálható-e benne és matematikailag kezelhető-e a szabályos mintázat, vagy azok kombinációja."

Nem, nem csak annyi a kérdés. 010101010101010101...(tetszőlegesn sokáig ez ismétlődik) , abban gondolom egyetértünk, hogy ez matemaitkailag kezelhető szabályos mintázat, de nem kaoutikus.

"Minél nagyobb az információtartalma, annál inkább tekinthető kaotikusnak."

Ez sem igaz, mert például ha igaz lenne egy könyvtárnyi könyv szövege binárisan kódolva kaotikusabb mint egyetlen lap szöveges tartalma. Ha információtartalma helyett információsűrűséget írtál volna akkor már igaz lenne. Ennek a Kolmogorov-féle komplexitáshoz van köze.

Azaz attól függ, hogy mennyire tömöríthető. A (veszességmentes) tömörítés matematikailag egy olyan leképezés melynek célja n különböző (mi esetünkben n=2 0,1 értékek sorozatát) ami egy k darab jelből álló jelsorozatot leképezi egy k-nál rövidebb jelsorozattá és invertálható is a leképezés.

A k hosszú sorozat esetében legrosszabbul akkor tömöríthető, ha nincs rövidebb alak mint önmaga, ekkor a lehető legnagyobb az entrópiája. A lehetséges tömörítő algortimusok egyes inputokra az inputnál hosszabb outputot adnak.

A Shannon-entrópiafüggvénye egy közelítés arra hogy mennyi is az entrópiája egy jelsorozatnak, mondhatni hogy felső becslést ad. A tényleges entrópia nem számítható ki.

Egyébként az hogy egy jelsorozat mennyire tömöríthető be, ilyen kérdéssel meg sok mással az algoritmikus információelmélet foglalkozik : [link]

Spoiler :

"[...] Hogyan lehet eldönteni, hogy kaotikus-e?"

Nem lehet eldönteni.

Bővebben kifejtve: A trivális esetek pl 010101... vagy csupa 1-es, valószínű hogy nem az. Bár még megfelelő többletinformáció nélkül az is lehet hogy a valószínűség se becsülhető, mert lehet hogy ezer darab csupa 1-es lehet az ezeregyedik már 0 lesz. Lehet hogy a vizsgálandó hossz nagyságrendileg millió vagy milliárd vagy ezermillióárd hosszon jelentkezik. Például ha abból indulunk ki hogy az 5-ös lottószámok nem determinisztikusak, így ha játszok 0-át rendelek a játékhoz ha nem volt telilalálatom, 1-et ahhoz ha telilalálatom volt. Ha elkezdeném vizsgálni csak magát a sorozatot válhetően 0000000... jönne ki, de mégsem determinisztikusan 0 mindig, ha elég hosszútávon nézném akkor látnám.

ha elegendő hosszú sorozat áll rendelkezésre hozzá és sikerül találni hozzá olyan függvényt olyan kezdőértékkel amelyik megfelel a káoszelmélet determinisztikusan leírt függvénynek (ha szerencsénk van akkor exponenciális idejű) ami leírja azt a sorozatot akkor valószínűleg sikerült megtalálni. Egzaktul biztos nem lehet, csak nagyon valószínű. Mivel lehet nemdeterminisztikus , objektív véletlen is. Esélye meg van annak is, hogy 100x egymás után kihúzzák az 5-ös lottóban az 1,2,3,4,5 számot (akkor is ha csalás kizárva), csak rendkívül valószínűtlen.

Ha nem sikerült megtalálni akkor lehet tovább kell keresni, de az is lehet hogy nem determinisztikus a sorozat.

"Ha információtartalma helyett információsűrűséget írtál volna akkor már igaz lenne."

Javítok : Még ez sem igaz. Lásd ha objektív véletlen akkor maximális az információsűrűsége, még sem igaz rá a káoszelmélet értelmében a kaotikusság, már csak azért is mert nem ez nemdeterminisztikus.

"Bővebben kifejtve" rész pontosítása :

"Egzaktul biztos nem lehet, csak nagyon valószínű."

Egzaktul is lehet azaz biztosra, ha megvan hozzá a megfelelő többletinformációnk, így ha eleget tudunk még lehet hogy exponenciális idejű sem lesz.

Maximális többletinformációnk és minimális számítási erőforrásba akkor kerül ha mi magunk generáljuk a sorozatot adott kautikus függvény szerint.

Pl : [link]

Ez egy szimuláció. A kódban az EDRIFT konstanst nagyobbra vettem (hasraütésszerűen 0.15-re) mert az eredeti kód szerint kezdeti feltételekből származó teljes energia több mint amennyit megengedünk.

0-1 sorozattá alakíthatjuk pl a make_plot függvényen belül ha külön kinyerjül int(1000*x1[i]) & 1 és int(100*y1[i]) & 1 értékeket iterációnként, garantáltan 0,1 sorozat és garantáltan kaotikus ( garantáltan determinisztikus).

Jobban mondva ott a megfelelő helyen ahol írtam (gyengébbek kedévért jó lesz a # The pendulum rods.-ot tartlamazó sor előtt, de a kép kimenet se kéne nekünk, ki lehetne gyomlálni a kódból, de ez most részletkérdés) :

int(1000*x1[i]) & 1

int(100*y1[i]) & 1

int(1000*x2[i]) & 1

int(100*y2[i]) & 1

Ezeket például ebben a sorrendben iterációnként egy listába gyűjtük, triviálisan ez kautikus és 0,1 sorozat lesz.