Hányadossorozat (a_n / b_n) értelmezése kiterjeszthető azokra az esetekre, amiben b_n-nek van olyan tagja ami nulla?
Az a_n és b_n sorozat hányadossorozatának a_n / b_n határértéke akkor van értelmezve, ha b_n =/= 0, minden n-re.
Ez azt jelenti, ha b_n egyetlen tagja is nulla, akkor nem értelmezhető a hányadossorozat sem?
Ezt így explicite nem mondja ki a tankönyvem, de erre következtetek.
A hányadosfüggvény f(x)/g(x) viszont értelmezhető D(f) metszet D(g) és g(x) =/= 0 pontokban.
Van-e haszna és megtehető-e, hogy úgy értelmezünk egy "új fajta" hányadossorozatot, hogy a megfelelő indexű tagokat osztjuk egymással, amennyiben b_n =/= 0-val, ahol b_n = 0-val azokat a tagokat egyszerűen elhagyjuk a hányadossorozatból (mivel nem is értelmezhető). Az így értelmezett hányadossorozatban az indexek eltolodnak, de mindig az azonos indexű tagok lesznek osztva egymással, ellenben azzal, ha azt tennénk hogy b_n -nek vennénk egy olyan részsorozatát, amiben nincs nulla, és azzal osztanánk a_n-t?
Bár kétséges, hogy mi a helyzet abban az esetben, ha b_n-nek nincs végtelen sok nem nulla tagja, mert akkor csak egy véges sorozatot kapunk.
Milyen - feltételezhetően közép, vagy felsőfokú - iskolába jársz? Matekból ezt a részt minek hívják konkrétan?
Bocsi, túl régen jártam már a felnőttek gimnáziumába is. Alig emlékszem már valamire a régmúltból.
válasza:Üdv.
Analízis
Végtelen számsorozatok.
Nem járok semmilyen oktatási intézménybe (mert az életem egy csődtömeg). Tankönyvből tanulok, a szabadidőmben.
#2 (18:19)
Igen, azért írtam az utolsó mondatot, mert ha nincs végtelen sok nem nulla tagja a b_n sorozatnak, akkor nem kapunk végtelen sorozatot és a határérték végtelen sorozatokra van értelmezve.
A kérdés az, hogy használnak-e ilyen értelmezést valahol, van-e bármi haszna ennek a kérdésnek és kiterjesztésnek, mert én még nem találkoztam vele.
válasza:Igen, a tankönyvi definíció úgy szól, hogy ha b_n akár egy helyen nulla, akkor nem lehet vele hányadossorozatot képezni.
Ha ugyanis képeznénk a hányadost elhagyva a {n: b_n = 0} helyeket, akkor a kapott függvény nem lenne sorozat, hiszen egy (infinit) sorozatban minden természetes számhoz tartoznia kell egy értéknek. A te javaslatod, hogy toljuk el balra a megmaradó tagokat, áthidalja ezt a gondot ugyan, de annak pedig az a gyakorlati szépséghibája lenne, hogy a felvett értéket megadó kifejezésbe n-t helyettesítve nem az n-edik tagot kapnánk meg, hanem egy kisebb ki tudja hányadikat.
Ezért inkább lemondunk arról, hogy nullát is felvevő sorozattal osszunk.
válasza:A nullával osztás nincs értelmezve, tehát olyan sorozat, amelynek akár végtelen sok tagja nulla, nem jöhet szóba. Ha abból a sorozatból elhagyjuk a nulla értékű elemeket, és a maradék még mindig végtelen sorozat, akkor az egy másik sorozat. Amelynek minden elemére az osztás persze értelmezhető.
A kérdés tehát azért értelmetlen, mert az adott eljárás minden elemre meg kell valósuljon, ha tehát van benne nulla elem, akkor rossz, ha meg ezt kihagyjuk és még mindig sorozat, akkor az egy másik sorozat. Az lényegtelen e szempontból, hogy van közös rész.
válasza:A szálka ami a szemedet "szúrja" feloldható. Egy kicsit elengedjük magunkból a tökéletes/univerzális definícióra való törekvésből fakadó jószándékú szenvedést/szorongást.
Lehet így is és úgy is. Gondoljunk egy erős és egy gyenge definícióra. Erős az amiben b_n tagjai nem lehetnek 0-ák. Gyengébb definícióban "véges sok kivételével nem 0" esetén a_n/b_n hányados sorozatot ugyanúgy képezhetjük, és bizonyos n-re - mint ahogy a függvények esetében általában - majd nem lesz értelmezve, nem kell sehova semmit "tologatni".
Mennyire helyes? Nos, figyelembe véve hogy egy sorozat véges tagját megváltoztatva/elhagyva az nem változtat a sorozat határérték-tulajdonságán, így nagyon is helyénvaló. Megfontolva, hogy szeretnénk tudni a két sorozat ilyen kapcsolatát - mely kapcsolatot a hányados-határérték jellemez - jobb ha ilyen esetben is engedjük hányadossorozatnak hívni.
Vegyük b_n egy részsorozatát ami már nem tartalmaz 0-át és akkor lehet? Csak abban az esetben ha részsorozatból csak a 0-ák maradnak ki vagy legalábbis bizonyos n-től az összes b_n tagot tartalmazza, mert különben az a részsorozat már "nem megfelelően fogja képviselni" b_n-t a hányadossorzat határérték vizsgálatánál. (Mi van ha b_n nem konvergens de a részsorozata az lesz, vagy ha b_n tart 0-ba de részsorozatai különböző mértékben, teljesen más lehet az így képzett hányadossorozat határértéke.)
26F
válasza:Röviden: Jól írtad lehet a_n/b_n hányadost mint függvényt képezni, venni az értelmezési tartományok metszetét. De ha figyelembe vesszük a témakört, hogy "sorozatok és határértékei", akkor van egy kimondatlan feltétel. Legyen a hányados értelmezve olyan tartományon, hogy erre az értelmezési tartományra szűkítve az eredeti sorozatokat, azok őrizzék meg a sorozatok torlódási/konvergencia/határérték tulajdonságait - és "jelenjenek meg" a hányadossorozatban, mivel ezeket akarjuk vizsgálni... Ez pontosan akkor áll fent biztosan tetszőleges sorozatnál, ha csak véges sok helyen nem értelmezett. Azaz végül: csak véges sok helyen lehet 0 a b_n. Végtelen helyen nem értelmezve azt jelentené, hogy kivágtunk a kiindulási sorozatokból egy egész részsorozatot, aminek lehettek torlódási pontjai/amelyek hordozták a sorozat konvergenciatulajdonságainak egy részét. Nettó információvesztés, így azt már ne nevezzük hányadossorozatnak. Hányados függvénynek elmegy.
Sokat írtam, de szerettem volna teljeskörűen tisztázni a dolgokat :) Kérdezz bármikor. ;)
válasza:Természetesen jogunk van a sorozat bármely értelmezésére, abban anomáliák felfedezésére, sőt akár az is mondhatjuk, hogy ez hülyeség. Bármit mondhatunk.
Csak érdemes arra is figyelni, vannak, akik értik a természet szabályait, felismerik a félreértéseket. És ha arra érdemes a felvető, kaphat magyarázatot, értelmezést, szóval amire szüksége van. Ha viszont arra nem érdemes, akkor nem kerülhet be abba a körbe, ahol értelmes dolgokról értelmesen, egymást figyelve beszélgetnek. Nem azért nem, mert kizárják, hanem mert nem értelmezhető számukra, tehát nem is létezik.
A természet sem törődik azzal, értik-e, figyelnek-e rá, mindössze hat. Esetleg halálosan. De erről nem a természet tehet.
Sziasztok!
Köszönöm a válaszokat.
#steve95
Köszönöm, érdekes dolgokat vetettél fel nekem a konvergencia viselkedésekről, amiket érdemes lenne közelebbről megvizsgálnom, mielőtt további kérdéseket tennék fel, nem akarok a sötétben találgatni.
#9 (ma 12:04)
Ne haragudj, de nem igazán tudom hova tenni amit írsz. Milyen féle "természeti szabályokról" és félreértésekről beszélsz? Ha egy kicsit kifejtetted volna, hogy ebben az esetben ez mire vonatkozik, és milyen indokból, akkor még talán egyet is tudnék veled érteni. De így csak egy "intensifies gatekeeping"-nek tűnik ez a válasz nekem. Nézd, próbálom megérteni amit tanulok és kérdések fogalmazódnak meg bennem, hogy bizonyos defínicók mögött mik a motivációk, és lehet, hogy pusztán azért nem tér ki rá az anyag mert nem releváns az adott témakörben, de ugyankkor lehet hogy van valamiféle értelme más szemszögből. Azzal próbáltam időt spórolni magamnak, hogy ezt megkérdezem, ne feleslegesen akadjak fenn valamin, amire egyértelmű a válasz, hogy miért nem működhet, nem akarom újra feltalálni a szögletes kereket. Abban igazad lehet, hogy akik tankönyveket írnak azok értik amiről írnak, de pusztán erre hivatkozva azt állítani, hogy értelmetlen a kérdésem, az csupán a szaktekintélyre való hivatkozás, érdemi érv nélkül.
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!