A matematikus a matematika ágain belül mindnenhez ért ami matek?

Nem, nem ért mindenhez. A matematikának rengeteg ága van, és ha a matematikus pl. az algebrára specializálta magát és abból doktorált, akkor nyilván kevesebbet fog érteni az analízishez vagy a differenciálszámoláshoz mint egy olyan matematikus, aki abból doktorált.

Valószínűleg mindenhez jobban ért, mint egy átlagember, de csak a saját szakterületéhez ért igazán jól. Ha egy gitárosnak zongorázni kell, akkor előnyből indul, mert ért a zenéhez, de attól még nem tud zongorázni.

Hát az attól függ. Az ugyan igaz, hogy a matematika rendkívül szerteágazó, de a matematika szépsége (részben) éppen abban áll, hogy ez összeáll egy kerek egésszé. Tehát pl. egy hatékonyan dolgozó számelmélésznek tudnia kell nagyon sok algebrát, analízist, mert bizony a számelmélet nagyon masszívan használja mindkettőt. Lásd pl. a Riemann-hipotézist. Az egy komplex függvénytani probléma, amit számelméleti problémának nevezünk. De amikor matematikusokról beszélünk, akkor sajnos hajlamosak vagyunk megfeledkezni az alkalmazott matematikusokról, pénzügyi/gazdasági/biztosítási matematikusokról stb. Lehet, hogy pl. én elméleti matematikusként álmomból felébresztve felépítem mondjuk a Riemann-integrálfogalmat (nem egy nagy was ist das xD), de egy alkalmazott matematikus nálam gyorsabban old meg egy ezzel kapcsolatos feladatot, vagy például sokkal, nagyságrendekkel hatékonyabban old meg olyan számítási feladatokat, amelyekre csak numerikus válasz adható, nem tudjuk egzaktul papíron kiszámolni (vagy igen, viszont számítógéppel is eltart hetekig), hogy mondjuk annak a számítási feladatnak a vége az, hogy gyök 3. Nyilván én is konyítok valamit pl. a numerikus matematikához, de egy alkalmazott matematikus sokkal jobb nálam. Ahogy egy pénzügyi matematikus valószínűleg sokkal jobb nálam a statisztikában vagy sztochasztikában, legalábbis az alkalmazások szintjén biztosan. Szóval nem ilyen egyszerű ez a kérdés. Tudnék én olyat is mondani egy alkmatos kollégának, hogy csak nézne, mint Jenő a moziba', de ezt fordítva is el lehet és el is kell mondani, hogy az alkmatos kolléga is tudna olyat mondani nekem, hogy a szemem ketté áll.

Nyilván jobban érti mint az átlagember, de ő sem tud mindent azonos szinten.