Hogyan lehet még eukledészi szerkesztéssel aranymetszés pontot szerkeszteni?

Ha ismerjük az aranymetszés számát, akkor a következőképpen;

-Adott egy szakasz, ennek hosszát vegyük egységnyinek.

-Vegyünk a szakaszból 6 darabot, ezeket a szakaszokat tegyük egymás mellé egy egyenes mentén, ezzel egy 6 egység hosszú szakaszt kapunk.

-A 6 egység hosszú szakasz fölé, mint átmérő fölé rajzoljunk egy félkört. Thalesz tétele miatt tudjuk, hogy ha ezen a köríven kijelölünk egy pontot, és összekötjük a pontot az átmérő végpontjaival, akkor egy derékszögű háromszöget kapunk, melynek átfogója az átmérő.

-Az átmérő 1:5 arányú osztópontjában állítsunk merőlegest az átmérőre, ez metszi a félkörívet. Az így keletkező szakasz a derékszögű háromszög átfogójához tartozó magassága lesz, amiről tudjuk a magasságtételből, hogy hossza az átfogó két részének mértani közepe, vagyis most gyök(1*5)=gyök(5) hosszú a derékszögű háromszög átfogójához tartozó magassága.*

-Vegyünk egy újabb egységhosszú szakaszt, e mellé tegyük a a gyök(5) hosszú szakaszt, a két szakasz együtt egy 1+gyök(5) hosszú szakaszt ad ki. Ezt a szakaszt elfelezve kapjuk az (1+gyök(5))/2 szakaszt.

-A körzőt (1+gyök(5))/2 hosszúra nyissuk ki, az eredeti egységhosszú szakasz egyik végpontjába beszúrjuk a körzőt és elmetsszük azt. Az így kapott metszéspont lesz az aranymetszéspontja.

*Általában a gyök(racionális) hosszú szakaszt ezzel a módszerrel szoktuk szerkeszteni, de a gyök(5) hossz egyszerűbben is megszerkeszthető, ugyanis vegyük észre, hogy 1^2 + 2^2 = gyök(5)^2 teljesül, vagyis a gyök(5) hossz annak a derékszögű háromszögnek az átfogója is egyben, amelynek befogóinak hossza 1;2 hosszú, tehát csak elég egy ilyen derékszögű háromszöget szerkeszteni a gyök(5) hossz eléréséhez.