Csak még egy kérdés! Mekkora lehet az Ack(c,c) számosság?

"Csak még egy kérdés"

Mármint naplementéig? :)

Látszik, hogy nagyon érdekel a számosság, viszont unatkozol, nem vagy leterhelve, pénzt sem keresel vele.

Minderre megoldás: napszámosság nem érdekel?

Van ugye egy szám fogalmunk, amiben a természetes számoktól a negatív, illetve racionális számokon át eljutottunk a valós számokig, aztán a komplex számokig. Ezeken értelmezhetők műveletek, jellemzően a számkör tágításával egy-egy műveletet is újra kell egy kicsit értelmezni, aminek megvan a szokásos módszere (permanenciaelv, stb…).

A végtelen előjön pl. a határértékszámításnál. Ott egyféle végtelen van, a jelentése az, hogy bármely véges számnál nagyobb. A végtelen nem szám, hanem jelleg. Viszont bizonyos műveletek, illetve bizonyos tulajdonságok értelmezhetők a végtelenre is. Pl. ∞+∞=∞, vagy ∞*2=∞. Esetleg ∞!=∞. De bizonyos műveletek nem, vagy csak kontextustól függően értelmezhetők a végtelenre, a végtelenen számos olyan tulajdonság nem értelmezhető, ami véges számoknál igen. A végtelen nem páros, nem páratlan, nem egész, de nem is nemegész, nem racionális és nem is irracionális stb…

A végtelen továbbá a halmazoknál jön elő, itt már különböző számosságokat lehet definiálni, attól függően, hogy két halmaz elemei mennyiben feleltethetők meg egymásnak és mennyiben nem. Itt végképp nem számról, hanem jellegről, viszonyrendszerről van szó.

A számosságokon értelmezett minden művelet valamilyen módon visszavezethető véges halmazokon értelmezhető műveletekre. Pl. két olyan halmaz esetén, amiknek a metszete üres halmaz, a halmazok uniójának elemszáma a két halmaz elemszámának az összege lesz. Ha az egyik halmaz a másik részhalmaza, akkor meg a két halmaz uniója a nagyobb halmaz elemszámával fog megegyezni, minden más esetben az unió elemszáma valahol a kettő között van. Végtelen halmazok esetén – az halmazokon értelmezett összefüggéseken keresztül – így értelmet nyer két számosság összege. Hasonlóan két véges halmaz Descartes-szorzata esetén az eredmény halmaz elemeinek a száma a két halmaz elemeinek a számának a szorzata lesz. Így két számosság szorzata, illetve egy számosság természetes szám kitevőjű hatványa is értelmet nyer. Szintén értelmet nyer a 2^(ℵ[x]) kifejezés is, ha egy halmaz elemeinek számát és a hatványhalmaz elemeinek a számát vetjük össze. Ha vesszük egy véges halmaz elemeit, és az ezekből képezhető permutációk számát, akkor meg a halmaz elemszámára lesz értelmezhető a faktoriális. Így végtelen számosságok esetén is értelmezhetővé válik a faktoriális művelete.

Számosság esetén tehát mikor azt írjuk, hogy ℵ₀*ℵ₀=ℵ₀, akkor azon tulajdonképpen azt értjük alatta, hogy:

| {(a,b) : a∈A∧b∈B∧|A|=|ℕ|∧|B|=|ℕ|} | = |ℕ|

csak azért használjuk az ℵ jelet, meg a szorzás műveletét, hogy tömörebben és átláthatóbban tudjuk ezt a hosszú kifejezést leírni.

De… És itt jön a de… A végtelen számosság továbbra sem szám. Ha egy számosságon való műveletvégzést nem tudsz egy véges halmazon történő halmazműveletre visszavezetni, akkor az a művelet a számosságon egyszerűen nincs értelmezve. Nincs értelmezve – nincs mi alapján értelmezve – mondjuk egy számosság gyöke. Ha nem tudsz egy olyan M halmazműveletet mondani, aminél bármely véges halmaz esetén igaz, hogy:

| M(H) | = √|H|

Akkor a √ℵ₀ kifejezésnek sincs értelme. Sőt akármennyire is igaz, hogy 2^ℵ₀=ℵ₁, attól még nem lesz értelmes az, hogy log₂ℵ₁ = ℵ₀, pláne nem lesz értelmezhető a log₂ℵ₀ kifejezés.

Ezért értelmetlen egy raklap kérdésed, ahogy ez is. Ha tudsz olyan M kétváltozós halmazműveletet mondani, aminél minden véges halmaz esetén fennáll a

| M(A,B) | = ack(|A|, |B|)

összefüggés vagy tudsz egy olyan egyváltozós halmazművelet, aminél

| M(A) | = ack(|A|, |A|)

akkor beszélgethetünk arról, hogy milyen számosságot jelent az ack(ℵ[x], ℵ[y]), így akár az ack(ℶ₁, ℶ₁) is. Ha nem tudsz ilyen halmazműveletet, akkor nincs értelmezése az ack(ℵ[x], ℵ[y]) kifejezésnek.

~ ~ ~

És még – meglehet, reménytelenül – megelőzendő egy raklap jövőbeli kérdést, nem varrjuk a gombhoz a kabátot. Nem akarjuk értelmezni egy végtelen számosság szuperlogaritmusát. Ha lesz olyan halmazművelet, aminél véges halmazok esetén az elemek számában felbukkan a szuperlogaritmus, akkor majd esetleg beszélhetünk róla. Előbb kell a halmazművelet, és csak utána az érzelmezése a számosságokra. Ugyanúgy balgaság lenne mindenáron értelmezhetővé tenni egy számosság szuperlogaritmusát, mint amennyire balgaság lenne mindenáron definiálni egy parabola átlóját, egy szög térfogatát, egy számjegy kerületét, vagy egy szinusz függvény felezőpontját. Se füle, se farka, se értelme, se haszna nincs mindezeknek, még áttételesen sem.

„Csak még egy kérdés!”

U. Xorter, nem tudom elhinni, hogy ez az utolsó kérdésed. Tényleg nem lesz több? Komolyan, nagyon hiányozna! Na, legalább naponta egyet, jó?

„Lenne ennél nagyobb számosság?”

Természetesen, de ezt te nem tudod? Eláruljam? Te magad vagy egy irdatlan nagy számosság, aminek persze semmi haszna nincs.

U. Xorter, már megint egy új kérdés, de még mindig nem adtad meg az ötödfokú egyenlet megoldóképletét. Hát mi lesz velünk így, soha nem tudjuk meg?