Két egymás utáni négyzetszám külömbsége mennyi?

Hát nagyon nem, ez egy alapvető hatványozási szabály.

Tessék kipróbálni két számmal, hogy hogy működik.

> (n+1)²=n²+1?

Nem. Pl. n=3 esetén:

(n+1)² = (3+1)² = 4² = 16

n²+1 = 3²+1= 9+1 = 10

Ugye a szorzás disztributív az összeadásra nézve:

(a+b)*c = a*c + b*c

Józan paraszti ésszel pl. ha egy tojástartóban 10 tojás van, akkor 3 tojástartónyi, plusz 4 tojástartónyi tojás esetén vagy előbb szorzunk, és 3*10+4*10 tojásról beszélünk, vagy előbb összeadjuk a tojástartók számát, és (3+4)*10 tojásról beszélünk. Általánosabban megfogalmazva, ha egy (a+b)-t akarunk szorozni c-vel, akkor vagy összeadjuk az a-t és a b-t, majd utána szorozzuk meg c-vel, vagy külön-külön szorozzuk az a-t is, a b-t is c-vel, majd ezeket adjuk össze.

Ennek tudatában előbb a bal oldali zárójelet feloldva:

(a+b)² = a*(a+b) + b*(a+b) = a² + a*b + b*a + b² = a² + 2ab + b²

Szemléletes ábra:

[link]

Itt ugye egy (a+b) oldalú négyzet van, így a területe (a+b)². Ez egy darab a², két darab a*b és egy darab b² területű részből áll össze.

Az (n+1)² esetén ugyanez a helyzet, csak ugye ott a=n és b=1:

(n+1)² = n*(n+1) + 1*(n+1) = n² + n*1 + 1*n + 1² = n² + 2n + 1