Adott két állítás: A.) "X" probléma nem megoldható. B.) "X" problémának nincs megoldása. Kérdés: A=B? (a két állítás egyenértékű -e, ha igen, melyikük határozza meg a másikat, illetve mindkét oldalról kölcsönösen egyértelmű -e a megfeleltetés?)

Itt vannak fogalmi „problémák”. Az x=x+1 esetén nem a problémának, hanem az egyenletnek nincs megoldása. A problémának van, a *probléma* megoldása az, hogy az *egyenletnek* nincs megoldása. Oké, ha olyan helyzetről van szó, akkor néha szoktuk a kétféle megfogalmazást keverni, szoktuk – kicsit pongyolán, de az adott helyzetben érthetően, értelmezhetően – azt mondani, hogy az x=x+1 egyenlet nem oldható meg, de ez nem egy egzakt, hanem egy hétköznapi megfogalmazás.

Szóval erősen megkülönböztetendő az egyenlet megoldása, meg a probléma megoldása.

Amúgy mindegyikhez általában hozzá kellene tenni – csak sokszor az egyértelműség miatt elhagyjuk –, hogy milyen kritériumokra vonatkozik. Pl. az X probléma nem oldható meg… algoritmikusan, véges számú művelettel. Vagy az Y egyenletnek nincs megoldása… a valós számok halmazán.

~ ~ ~

Vannak olyan problémák, amikről tudjunk, hogy megoldhatatlanok. Pl. egy ötödfokú egyenletet gyökeit nem lehet véges számú alapműveletekkel és gyökvonással kiszámolni. Ettől még az adott ötödfokú egyenletnek amúgy lehet megoldása. Pl. egy x⁵-4x⁴+2x³+5x²-4x-6=0 egyenletnek van megoldása, pl. az x=3. De a problémának nincs általános megoldása, a gyököket nem tudod zárt alakban felírni az ötödfokú polinom együtthatóival. Tehát attól, hogy egy ötödfokú egyenletnek van megoldása, a probléma, az ötödfokú egyenlet megoldásának problémája, azaz az ötödfokú egyenlet megoldásához vezető lépések sorának meghatározása, az nem megoldható. Bizonyítottan nincs ilyen megoldási módszer.

Aztán még pár ilyen, pl. többek között az elsőfokúnál magasabb fokú diofantoszi egyenletek megoldására nincs megoldási módszer. Nem arról van szó, hogy nem ismerünk rá módszert, hanem hogy – 1970 óta –bizonyított, hogy nincs rá általános módszer. Pl. ezért is maradt kemény dió a nagy Fermat-sejtés bizonyítása, mert ugye az is egy diofantoszi egyenlet.

Ha a vita idáig fajul, nincs más lehetőségünk, az eredeti állítást vizsgáljuk akkor is, ha tudjuk, nem az volt a szándék a megfogalmazáskor. Mert meglehet, nem magával a problémával kell foglalkozni, hanem a kezelésének módjával.

A kérdésre: a nyelv egy érdekes dolog, szőrszálhasogatáskor figyelemmel kell lennünk arra, hogy gyakran nem egzakt. Az „A” azt fejezi ki, a probléma nem oldható meg. A máig létező megoldási módszerekkel nem jutunk a célhoz. A „B” azt fejezi ki, a problémának nincs megoldása. Hiába fedezünk fel új és új módszereket, akkor sem jutunk célhoz. Az „A” az állítás pillanatáig fennálló lehetőségekről beszél, a „B” pedig arról, hogy e lehetőségek nem léteznek. Tehát a két állítás nem azonos, hanem tartalmazó. Már amennyire elfogadjuk, hogy a nyelvi kifejezés alkalmas árnyalatok megkülönböztetésére, még ha ez elsőre nem is tűnik szembe.

Az alatta lévő felvetésre: első észrevétel, ha abszolút precizitásra törekszünk, akkor „nemnulla pozitív egész” túlhatározott, terjengős. A pozitív egész nem lehet nulla! Azaz nem fejez ki semmit a „nemnulla” jelző. A jellemzés pedig a következő. Az „egyenlet” nem egyenlet. Az a kifejezés egy definíció, ezért a matematikában megkülönböztetésül a „=:” jelölés szokásos, a két oldal pedig megfordítandó. Azt fejezi ki, a hatványozás definíció szerint ilyen műveletsort jelent. Itt az n-re vonatkozó halmaz egy eleme (nevesen az egy) nem ad eltérő értelmezést. Az n=1 esetén azt is mondhatjuk, az x-re vonatkozóan ekkor érdemi művelet nincs, míg n>1 esetén van, legalább egy darab szorzás. Pongyola megfogalmazáson az idők végezetéig lehet vitatkozni.

#4-hez: az itt szereplő „B” nem azonos a kérdésbelivel, ezért talán annyit mondhatunk a két állításban hangulati és nem matematikai eltérés van.

#7-hez: elemezték már, csak annyit tennék hozzá, ismét fogalmazásértési probléma, nem matematikai. Jellemzően az első állítás egy, a témában keveset tudó „tudálékoskodó” emberé, a második pedig ennek a megfogalmazásnak egy finomítása (amely folytatható lenne a matematika nyelvén).

#10-hez: lényegében a fent említett „tudálékosság” bizonyítása. Az a kifejezés nem egyenlet! A „határozatlan egyenlet” jelentésén még gondolkodom, de eddig nem találtam a matematikában ilyen fogalmat. Ami utána következik az egyszerűen hibás (jó, esetleg téves leírás). ha egyenletként kezelem, nem az a „megoldóképlet” és főleg nem jön ki megoldásnak x=1. Több szót nem érdemel.

#12-höz: a „megközelítés” definite megadott egzakt célhoz lehetséges, valamihez, ami csak homályosan értelmezhető, nem. Ekkor a megközelítés különféle látásmódot jelent ugyanarról a dologról. Ha a „cél” homályos, a megközelítés értelmezhetetlen (bele persze bármi magyarázható). Itt a második bekezdést nem sikerült megfejteni. Mindenekelőtt a sem a megoldhatóság, sem az értelmezhetőség nem „matematizálás”. Ez alatt azt szokták érteni, kvalitatív megállapításokat matematikai eszközökkel fogalmazunk meg (matematikai modellt alkotunk) abból a célból, hogy a gyakorlatban felhasználható kvantitatív eredményre jussunk. Az antigravitációra kiváló matematikai modellek vannak, fizikai reprezentációt nem tudunk adni neki.

#13-hoz: innen csak a nullával való osztás tilalmát emelném ki. Ez egy pongyola kifejezésmód, a kutya se tiltja. Ezzel szemben nem értelmezhető! Ugyanis egy művelet célja (az életben és a matematikában egyaránt) egy eredmény elérése. A nullaként definiált matematikai fogalommal egyes matematikai műveletek elvégezhetők és egyértelmű eredményt adnak, míg mások nem végezhetők el, mert nem adnak semmilyen eredményt (pontosabban az eredmény nem határozható meg). Példaként, ha a háromhoz nullát hozzáadok (kivonok), akkor jelentése szerint nem tettem semmit, tehát az eredmény három. Ha szorzok nullával, akkor a definíció szerint valamit nulla alkalommal veszek figyelembe, tehát az eredmény nulla. Ugyanakkor az osztási művelet nem értelemzett, mert nulla részre felosztani valamit nem lehet (nincs definiálva). A matematika természetesen kiegészítésre szorul, ezért foglalkoznak vele ma is intenzíven tudósok ezrei. Lezárt tudomány ugyanis nem létezik. Ezzel nem vitatkozunk, ezt értelmezzük. A „kiegészítésre szorul” jelentéstanilag azt fejezi ki, egy konkrét dologgal konkrétan foglalkozva, a kapott eredmény hiányosságot mutat még. Nem azért, mert ezután kell a szükséges eszköztárat kifejleszteni hozzá, hanem azért, a munka nem volt alapos (pedig lehetett volna). Más értelemben nem szorul kiegészítésre, fejlődik, ami viszont trivialitás.

#15-höz: szükségtelen más területre menekülni. A filozófia egy fontos tudomány, de nem itt és nem erre alkalmazandó. Ami utána következik, annyira nélkülözi a matematikai látásmódot, hogy nem érdemes foglalkozni vele. Szókavarás. „egyértelműen sohasem igazolható állítás” szövegű állítást matematikához értő ember nem fogalmaz meg. Nem látunk a jövőbe. Vagy bizonyítani tudjuk, hogy a probléma nem oldható meg „elvileg”, és ekkor azt mondjuk a problémának nincs megoldása, vagy nem tudjuk, és ekkor azt mondjuk, nem ismerjük a megoldást. ez tartalmazza azt az implicit állítást, hogy a jövőre vár megoldani, vagy a megoldás lehetetlenségét bemutatni. A „nemlétet” hogy a fenébe ne lehetne bizonyítani egyes esetekben (másokban meg azért nem tesszük, mert van jobb ötletünk). Ekkor a „nemlét” az állítás, bemutatjuk, hogy ez ellentmondás, ami a természetben nem létezik, tehát nem a „nemlét”-ről van szó, hanem a „nem ismert”-ről. Az utolsó bekezdésbeli csodálkozáshoz. Számtalan esetben van, hogy valamit nem tudunk kiszámítani (a mi szempontunkból ez megfelel a nem létezésnek), de intuitív módon egy eredményt ismerünk. Ez az emberi gondolkodás képességének egyik legfontosabb tulajdonsága. Az emberben van egy csomó ismeret, egyesek tudatosak, mások nem. Az ember képes a következtetésre, asszociatív gondolkodásra és egy sor más szellemi műveletre, és ezért ezek (nem tudatos és jelenleg nem meghatározható sorrendű) alkalmazásával rájön egy megoldásra. Okos emberek szokták szórakoztatni így a környezetüket, rendkívüliség, a szokatlan, a váratlan legtöbbször szórakoztató. De ezek a jelzők csak a környezetre érvényesek, az eredmény az adott személy gondolatainak következménye.

> Általánosítva semmiről sem tudjuk bizonyítani "nem létét", legfeljebb bizonyos körülmények esetén létezésének kizártságát.

Azért a dolog kissé bonyolultabb. Valaminek a nemlétét akkor nem lehet bizonyítani, ha nem lehet megvizsgálni minden lehetséges esetet. Lehet bizonyítani, nincsenek féregjáratok, nincsenek gömbvillámok, nincsenek zöld alapon piros pettyes hollók? Vegyük ez utóbbit. Ahhoz, hogy kimondhassuk, hogy nincsenek zöld alapon piros pettyes hollók, ahhoz a világon az összes létező hollót meg kellene vizsgálni. De nem csak ennyi kell, hanem valahogy igazolni kellene azt is, hogy tényleg sorra vettük a világon élő összes hollót. Ennek technikai korlátjai vannak. A féregjáratoknál még inkább, egy féregjárat akármekkora lehet, mi mi meg nem csak gyakorlatilag, de elméletileg sem tudjuk az univerzum egészét átvizsgálni. Isten létéről már ne is beszéljünk…

Viszont vannak esetek, mikor igenis sorba lehet venni minden potenciális esetet. Az, hogy Magyarországon nincs 100 000 hektárnál nagyobb felületű tó, azt természetesen lehet bizonyítani. Vagy azt, hogy nincs a szobádban egy Afrikai elefánt, azt is.

Viszont mindez a természettudományokra vonatkozik. A matematika meg nem természettudomány, az összefüggéseit nem a természet megfigyelésével, kísérletekkel döntjük el, hanem mi határozzuk meg az axiómákat, definíciókat, és onnan szigorúan logikai úton állapítunk meg összefüggéseket. A fizikában lehet kérdés, hogy a tér hány dimenziós. Lehet ilyen-olyan kísérletek mentén választ találni erre a kérdésre. A matematikában meg megmondjuk, hogy „vegyünk egy 37 dimenziós teret”…

~ ~ ~

A matematikát természetesen szeretnénk alkalmazni is a világ leírására. Így azért vannak elvárásaink egy matematikai axiómarendszerrel szemben. Az egyik legfontosabb elvárás az ellentmondásmentesség. Mert ha egy axiómarendszer ellentmondásos, akkor abból bármi és annak az ellenkezője is levezethető. Ennek érdekében igyekszünk minél kevesebb axiómát meghatározni. Illetve igyekszünk olyan axiómákat megfogalmazni, amiről érezhető, hogy független állítások. Meg persze adott esetben igyekszünk olyan axiómákat megfogalmazni, amik magától értődőnek tűnnek.

Ha nem találtuk az axiómát ellentmondásmentesnek, elfogadjuk feltételesen azt, hogy egy axiómarendszer ellentmondásmentes, akkor lehet általános igazságokat megfogalmazni. Ezen alapszik az indirekt bizonyítás, ha valamilyen állítás ellentmondásra vezet, akkor bizonyítottnak fogadjuk el, hogy az állítás hamis. Pl. így lehet bizonyítani, hogy a √2 irracionális szám. Tulajdonképpen itt azt bizonyítjuk, hogy a √2=n/m egyenletnek nincs olyan egész n és m megoldása, amire az egyenlet igaz lesz. Tulajdonképpen valaminek a nem létezését bizonyítjuk, a „létezik olyan egész n és m, amelynek a hányadosa √2-vel egyenlő”. Ugye a bizonyítás abból áll, hogy annak a feltételezéséből, hogy van olyan egész n és m, aminek a hányadosa √2, azzal ellentmondásra jutunk.

Itt a különbség, a természettudományoktól eltérően ahhoz, hogy bizonyítsuk azt, hogy nincs olyan egész n és m, aminek a hányadosa √2, nem kell megvizsgálni az összes létező – végtelen számú – n-et és m-et.

~ ~ ~

És akkor itt újfent megkülönböztetném a két fogalmat. Ha az a probléma, hogy „írjuk fel √2-t két egész szám hányadosaként”, akkor ez a probléma megoldhatatlan. Viszont a √2=n/m egyenlet megoldható, csak éppen a megoldások halmaza egy üres halmaz.

És nem arról van szó, hogy a matematika eddig nem tárt fel olyan összefüggést az adott axiómarendszerben, amivel fel lehetne írni √2-t két egész hányadosaként, hanem arról, hogy *bármelyik* n, m párosra belátható, hogy az nem lehet megoldás. Ha valaha mégis egy olyan összefüggésre lelnénk, aminek mentén √2 mégis felírható lenne két egész hányadosaként, akkor azt kell gondolnunk, hogy az axiómarendszerünk nem ellentmondásmentes.

Aztán, hogy egy másik axiómarendszerben mi a helyzet, annak az axiómarendszernek mik az összefüggése, az más tészta. Az egy „másik matematika”.

~ ~ ~

Megjegyzésként elő lehet citálni Gödelt. Ugye mivel egy matematikai axiómarendszerrel szemben alapvető elvárásunk, hogy legyen ellentmondásmentes, ezért kulcsfontosságú kérdéssé vált, hogy hogyan lehet bizonyítani egy axiómarendszer ellentmondásmentességét. Nem véletlenül szerepelt a Hilbert-problémák között előkelő helyen. És itt jött Gödel második nemteljességi tétele, miszerint minden „valamirevaló” axiómarendszerben az axiómarendszer összefüggései mentén bizonyíthatatlan, hogy az axiómarendszer ellentmondásmentes. A valamirevaló szó itt azt jelenti, hogy az axiómarendszer teljesít néhány olyan axiómát, amit pl. a természetes számokat leíró Peano-féle axiómarendszer is tartalmaz.

Ez nyilván elvi probléma. Mert a természetes számok axiómarendszerében elég sok összefüggést tártunk fel, anélkül, hogy az axiómák ellentmondásába futottunk volna, így a fenti problémakörtől függetlenül azért elfogadjuk az Peano-aritmetikát olyan rendszernek, ami használható matematikára, használható a világ jelenségeinek absztrakciójára, és ezen absztrakt rendszerben valós problémamegoldásokra.

> Minden problémára létrehozható egy az annak megoldását lehetővé tévő rendszer.

Csakhogy sokszor egy matematikai probléma egy adott axiómarendszerben vetődik fel, azon belül keressük a megoldást. Pl. ott a Goldbach-sejtés: Minden 2-nél nagyobb páros szám előáll két prímszám összegeként. Alapos okunk van hinni abba, hogy a sejtés igaz, de mindmáig nem sikerült bizonyítani.

Oké, most vegyük a Peano-axiómarendszert, és adjunk hozzá egy új axiómát: a 99-nek nincs rákövetkezője. Kaptunk egy új axiómarendszert, ami a legtöbb dologban hasonlít a természetes számok axiómarendszerére, de a számok halmazának számossága véges, csak 100-nál kisebb számok vannak benne. Ebben is értelmezhetők azok a fogalmak, hogy: 2, nagyobb, páros, szám, prím, összeg, és ebben az axiómarendszerben könnyedén igazolható a Goldbach-sejtés átiratának a helyessége.

Oké, csak ezzel nem oldottad meg az eredeti Goldbach-sejtést, ami nem a te megkreált axiómarendszeredben vár bizonyítást, hanem a végtelen számosságú természetes számok halmazát leíró axiómarendszerben.

> Csakhogy ez azt is jelenti, hogy az ellentmondás (mivel pont az adott rendszer axiómáiból származtatható) nem zárja ki egy másik rendszer létrehozásának lehetőségét, ahol már nem lesz ellentmondás.

Oké, csak ebben a másik axiómarendszerben is – ha valamire való és minden állítás bizonyítható – lesz ellentmondás. És lehet pont az, ami az eredeti axiómarendszerben nem volt az. Amit nyersz a réven, elveszted a vámon.

> Az igazi probléma a két rendszer összeegyeztethetősége.

Mivel két különböző axiómarendszerről van szó, nincs átjárás a kettő között. Esetleg csinálhatsz egy harmadik axiómarendszert, ami valahogy vegyíti a két axiómarendszer axiómáit, csak azzal megint ugyanaz lesz a probléma. Vagy ellentmondásos lesz, vagy nemteljes.