2+2=4 és 4=2+2, ezek az egyenletek egyenértékűek -e? Foglalkozik -e ezzel a matematika, ha igen, hol lehetne utána nézni?

Az egyenlőségnek valós jelentése van. Azt jelenti, hogy az egyenlet mindkét oldalán ugyanazon érték áll. Ugyanúgy, mint egy kétkarú mérleg esetén, ahol a mérleg két serpenyőjében ugyanakkora súly van, csak a matematikai absztrakcióban a tulajdonság maga – a súly –, amitől elvonatkoztatunk. És most képzelj el egy kétkarú mérleget. A mérleg egyik serpenyőjében van valami, a másik serpenyőben meg más valami. A mérleg egyensúlyban van. De a mérleg ugyanúgy egyensúlyban van, ha én átsétálok a mérleg másik oldalára. A bal és jobb oldal ugyan hozzám képest felcserélődik, de a mérlegen valójában semmi nem változott, ami megtörné az egyensúlyt. A kisebb-nagyobb relációknál ez természetesen máshogy van, de az egyenlőség, vagy más néven egyenértékűség (ekvivalencia) pont ezért kitüntetett, pont arról van szó, hogy az egyenlőség bal és jobb oldalán ugyanolyan érték van, amik emiatt egymással felcserélhetők, illetve mindenhol máshol, ahol az egyenlőség bal oldalát írjuk, oda írhatnánk az egyenlőség jobb oldalát is.

> 2+2=4 határozott egyenlőség

Mitől határozott? Mit jelent jelen kontextusban számodra a határozottság?

> amíg 4=2+2 határozatlan (4=1+3, 4=2*2, 4=20/5,...stb. miatt)

És ezt nem lehet felírni úgy, hogy:

1+3=4

2*2=4

20/5=4

?

De igen. Mitől határozottabb vagy határozatlanabb az egyik a másiknál?

~ ~ ~

Az más kérdés, hogy bizonyos esetekben van egy szokás, hogy mi kerül az egyenlet bal és jobb oldalára, de ez csak egy szokás, ha nem követi valaki, attól még matematikai szempontból korrekt a dolog. Pl. mikor egy ismeretlent számolunk ki, szokás az ismeretlent az egyenlet bal oldalára rendezni. Pl.:

4x+2 = 3x+5

x+2 = 5

x = 3

De ha nem így csinálom, hanem így:

2 = -x+5

-3 = -x

3 = x

Ettől még a megoldás helyes és ugyanaz, mint az előző esetben, maximum eltértem egy szokástól.

Az egyenlőség az algebrában nem művelet. Az egyenlettől bal és jobb oldalon álló kifejezés tetszőleges sorrendben kiértékelhető. Nem kommutativitásról van szó, mert ezzel műveleteket szoktunk jellemezni, egyszerűen csak lényegtelen az egyenlet fennállása szempontjából, hogy milyen sorrendben értékelsz ki kifejezéseket.

Az egyenlőségjel azt fejezi ki, hogy a tőle balra és jobbra álló kifejezés *értéke* – nem az alakja, hanem az értéke – megegyezik.

(Az más kérdés, hogy az egyenlőségjelet felhasználva lehet műveletet is – relációs műveletet – is faragni, aminek az eredménye igaz vagy hamis, de az algebrában az egyenlőségjel nem teljesen ezt jelenti, hanem azt, hogy az állítást igaznak kell tartani.)

Az egyenletnek a megoldása azon ismeretlenek összessége, amelyekre az egyenlet fennáll. A te példádban nincs egy ismeretlen sem, így az egyenlet megoldásáról aligha lehet beszélni. Nincs mit megoldani azon, hogy 4=2+2. Ez egyszerűen csak igaz, nincs semmi kérdés, amire válaszolni kellene, nincs semmi, amit keresni kellene.

Hogy a 4 az egy konstans, a 2+2 az meg egy kifejezés, annak nincs jelentősége. Mindkettő *értéke* négy. A 4-et ugyanúgy fel lehet írni 2+2, 3+1, 2*2, 20/5 alakban, mint ahogy a 2+2-t is fel lehet írni 4, 3+1, 2*2 és 20/5 alakban is. Mindegyiknek – a 4-nek is, meg a 2+2-nek is – végtelen számú kifejezési módja van. Ez olyan dolog, hogy a 100 Ft az 100 Ft akkor is, ha egy darab 100 Ft-os érmével fizeted ki, akkor is, ha két 50 Ft-os érmével, meg akkor is, ha 10 darab 10 Ft-os érmével. Az érmék összetétele nyilván más, de az *érték* ugyanúgy 100 Ft lesz. Az *érték* szempontjából nincs kitüntetett szerepe annak, hogy azt történetesen egy darab érmével is ki tudod fizetni, van 100 Ft-os címlet.

Nota bene ha pontos felírás kell, akkor elmondható, hogy:

1 / √2 = √2 / 2

Tizedestört alakban pontosan nem lehet felírni ezt az értéket. Ez a kettő a legegyszerűbb pontos alak, egyik sem egyszerűbb vagy bonyolultabb a másiknál, nincs mi alapján határozottságról vagy határozatlanságról beszélni. Ugyanez igaz a következő egyenletre is:

3+1 = 2+2

Mindkét oldalon kifejezés van, és mindkét oldal kifejezésének értéke azonos. Nincs különbség a

3+1 = 2+2

és a

2+2 = 3+1

között semmilyen szempontból. Vagy pl. van olyan matematikában szokásos jelöléssel bíró konstans, ami megint nem fejezhető ki pontosan, csak kifejezésként:

Φ = (1 + √5)/2

Itt melyik „határozottabb”? Az görög bötű, vagy a kifejezés? És miért?

(És nem érzem azt, hogy az egyenletrendszerek bármilyen szempontból relevánsak ebben a kérdésben.)