Tételezzük fel, hogy van egy zárt rendszerünk, amelyet végesen sok, de akár végtelen elemszámú halmaz alkot, melyek különféle kapcsolatban állnak egymással (metszik egymást, elkülönülnek, halmaz-részhelmaz stb.). Hány üreshalmaz (elemnélküli) lehet?

"A matematikában üres halmaz alatt olyan halmazt értünk, amelynek nincsen eleme. Tekintettel arra, hogy két halmaz pontosan akkor egyenlő, ha az elemeik megegyeznek, ezért üres halmaz legfeljebb egy van, hiszen ezen definíció értelmében bármely két üres halmaz egyenlő egymással. Azt, hogy létezik legalább egy üres halmaz, az axiomatikus halmazelméletben általában külön axióma mondja ki."

[link]

#4 : > "A" és "B" halmazok metszete nem létezik, nincs közös pontjuk.

> Tekinthetem -e ezt úgy, hogy "A" és "B" metszete egy üreshalmaz, amit "A" és "B" halmazok közös pontjait tartalmazó halmazként definiálok (ezt az üreshalmazt nevezzük "X"-nek)?

Igen, ha A-nak és B-nek nincsen közös eleme, akkor a metszetük az üreshalmaz.

A halmaz egy absztrakt fogalom. Pl. vannak szavaink. Ebből aztán lehet halmazokat definiálni, pl. a mássalhangzókkal kezdődő szavak halmazát, ami minden mássalhangzóval kezdődő szót magába foglal, és minden magánhangzóval kezdődő szó ezen kívül van. A halmaznak, mivel elvont fogalomról van szó, nincs alakja, nincs átmérője, meg még egy raklap tulajdonsága nincs. Kvázi mérete olyan szempontból van, hogy van a halmaznak számossága, azaz a benne található elemek száma.

Az üres halmaz egy olyan halmaz, aminek egyetlen eleme sincs. Pl. a 100 betűs, magyar, nem ragozott egyszerű szavak halmaza ilyen, nincs egyetlen szó sem, ami ebbe a halmazba tartozna.

> 1. Adott rendszerben hány üreshalmaz (elemnélküli) meghatározása lehetséges?

Egy ilyen halmaz van. Két halmaz akkor azonos, ha az elemei azonosak. Ha két üres halmaz lenne, akkor attól lennének különbözőek, hogy más elemek vannak benne. De mivel az üres halmazban egyetlen elem sincs, így nincs eltérő elemük. Két halmaz attól függetlenül lehet azonos – nem csak ugyanolyan, hanem azonos –, hogy lehet többféle módon is definiálni őket.

> 2. Ha több, ezek egymásnak megfeleltethetők -e?

A fentiek fényében ez így nehezen értelmezhető kérdés.

> 3. Tekinthető -e egy ilyen üreshalmaz az adott rendszer, és egy tőle minden elemében különböző (tehát tőle független) másik rendszer közös metszetének?

Igen. Pl. a mássalhangzóval kezdődő szavak halmazának és a magánhangzóval kezdődő szavak halmazának a metszete az üres halmaz, magyarul egy olyan szólista, amin egyetlen szó sem szerepel.

> 4. Ha csak egy ilyen üreshalmaz határozható meg, annak rendelkeznie kell -e az összes korábban feltételezett üreshalmaz valamennyi tulajdonságával?

Mármint milyen tulajdonságra gondolsz? Az üres halmaznak egyetlen tulajdonsága van: a számossága, azaz az elemeinek a száma nulla.

> Ilyen feltételesen létező(k) üreshalmaz(ok) tekinthető -e nullá(k)nak?

Nem. A nulla az egy szám, egy érték. Az üres halmaz meg egy halmaz, aminek nincsen egyetlen eleme sem. Ha a számegyenest vesszük, akkor a nulla az egy pont a számegyenesen. Az üres halmaz meg egy halmaz, aminek egyik pont sem eleme. A páros és a páratlan számok halmazának a metszete egy üres halmaz, egyetlen pont sem eleme ennek, a nulla sem. A nulla meg egy pont, ami pl. lehet eleme az egyjegyű számok halmazának, amely halmaz viszont nem üres halmaz, hiszen 10 eleme van (ha az egyjegyű számokat a nemnegatív egész számok körére szűkítve értelmezzük).

> 6. Ha ilyen üreshalmaz nem határozható meg, úgy azt tekinthetem -e nullának?

Mármint milyen? És nem, az üres halmaz továbbra is egy halmaz, a nulla meg továbbra is egy szám, ami lehet eleme egy nem üres halmaznak.

A halmazelméletben vannak elemek. Ezeknek nincs semmilyen, halmazelmélet szempontjából releváns tulajdonságuk, egy elemnek maximum olyan értelemben van bármilyen tulajdonsága, hogy megkülönböztethető egy másik elemtől. Persze lehet számokból, pontokból is halmazokat képezni, és lehet a számok értéke, vagy a pontok közötti relációk alapján definiálni a halmazokat, de halmazelmélet szempontjából lényegtelen, hogy mik pontosan az elemek, számok, pontok, szavak, színek vagy kavicsok. A halmazok viszont ezekből képzett csoportok. A naiv halmazelméletben akár a halmazok is lehetnek elemek, de ezek külön elemet képeznek, különböznek az őket tartalmazó összes más elemtől. Az 2, mint elem nem ugyanaz, mint az a halmaz, aminek az egyetlen elem van, ami a 2-es szám. Vagy ha a szavakat nézzük, akkor egy szó nem ugyanaz, mint egy olyan szólista, amin egyetlen szó szerepel. A lista nem szó, a szó meg nem lista.

Sőt a halmazban nincs sorrendiség sem, a halmazt csak az határozza meg, hogy milyen elemek szerepelnek benne. Hogy milyen sorrendben? Nincs sorrend. A mássalhangzóval kezdődő szavak halmaza attól még mindig ugyanaz a mássalhangzóval kezdődő szavak halmaza, függetlenül attól, hogy ábécé sorrendben, vagy fordított sorrendben, vagy rendszertelenül szerepelnek a listán a szavak. A halmaz nem is igazán lista ilyen szempontból.

~ ~ ~

> Tételezzük fel, hogy van egy zárt rendszerünk

Ez halmazelméleti szempontból értelmezhetetlen. Mitől zárt egy rendszer? Mitől nyitott?

> Pl. 3 m sugarú gömb egy adott felületi pontjára bocsátott gömbsugár a rendszer

Bár halmazokat, halmazrendszert pontokból is lehet alkotni, és sokszor elegendő ez a megközelítés, pl. lehet egy szakaszra pontok halmazaként is tekinteni. Viszont a geometria több ennél, míg a halmazelméletben a pontok csak elemek, addig a geometriában a pontok között relációk vannak, két pontnak távolsága van, stb…

#13: A naiv halmazelméletben akár a halmazok is lehetnek elemek, de ezek külön elemet képeznek, különböznek az őket tartalmazó összes más elemtől.

A sztenderd halmazelméletben kizárólag halmazok lehetnek elemek.