Mit határoznak meg a PDE-kben a peremfeltételek?

Ha van egy bonyolultabb probléma, akkor érdemes először egy egyszerűbbet megvizsgálni.

Például vegyük egy pont mozgását leíró diffegyet. Itt meg kell adni a pont kezdtei pozícióját, és sebességét, hogy megkapjuk a tényleges mozgást. Ebből látjuk, hogy a peremfeltétel amiatt kell, hogy egy álltalános esetet a saját példánkra szabjuk.

Álltalában PDE-knél azt vizsgáljuk, hogy egy zárt rendszerben mi történik. Az egyenleteink leírják a viselkedést a teljes téren, viszont értelemszerűen, ők nem tudnak arról, hogy a rendszer határa hol van, és ott mi történik, ezt nekünk kell valahogy megadnunk az egyenletnek. Ezek lesznek a határ/peremfeltételek. Azaz egy adott fizikai rendszer modellezéséhez a PDE-k és a peremfeltételek együttese adja a megoldást. A PDE-k megoldása megadja az összes lehetséges állapotot, és a peremfeltétellel választjuk ki ezek közül azt ami a rendszerünket írja le.

Na mármost mit is tudhatunk egy peremnél a viselkedésről. Vegyük a legalapabb dolgot, terjed egy hullám, ami egy másik közegbe nem tud bejutni, például egy kötél egyik vége a falhoz van kötve. Ekkor mit tudunk mondani, azt, hogy a kötél kitérése a falnál, a peremen 0 lesz, vagy álltalánosabban a hullám amplitúdója a falnál 0. Ez a Dirichlet határfeltétel, amikor a keresett függvénynek a közeg határán megmondjuk, hogy mekkora lesz az értéke. Elektromosság esetén megmondhatjuk, hogy mekkora feszültséget kapcsolunk egy adott pontra.

Ha például egy térbe áramoltatunk valamit (áramot, vizet), akkor meg tudjuk mondani, hogy a beáramlásnál mennyi folyadékot öntünk be, azaz mennyivel változtatjuk abban a pontban a mennyiséget. Ez a Neumann féle határfeltétel, amikor a határon a függvény deriváltjáról tudunk mondani valamit.

A vegyes peremfeltétel egyszerű, az az amikor egy problémában nem csak dirichlet, vagy csak neumann határfeltétel van, hanem a kettő együtt. Azaz például megmondom, hogy egy vezető lemez egy adott pontjára mekkora feszültséget kapcsolok (dirichlet), és egy másik pontján mekkora áramot veszek ki a rendszerből (neumann), és ezeknek a segítségével adom meg a permefeltételt.