Egy vektortér dimenziója mindig megegyezik a rangjával?

Igen, ez elég logikus is.

Állítás: Legyen V egy véges dimenziós vektortér. Ekkor Dim(V) = Rank(V).

Bizonyítás: Legyen Dim(V) = n. Legyen a (b1,...,bn) vektorrendszer egy bázisa a V-nek. Ekkor mivel b1,...,bn vektorok lineárisan függetlenek, ezért a V-ből (mint vektorrendszerből) kiválasztható n db lineárisan független vektor ---> Rank(V) >= n.

Továbbá az is igaz, hogy bármely m > n esetén akármilyen (a1,...,am) vektorrendszer lineárisan függő lesz --> Rank(V) <=n.

Tehát Rank(V) = n = = Dim(V).