A matematikusok miért nem vezették be a legnagyobb és a legkisebb szám fogalmát?

Fejből nem tudom a bizonyítást, de megnézheted a neten.

Nem bonyolult, középiskolában is tanítják.

Pedig könnyű bizonyítani (és a neten is egy rakat helyen fenn van).

Tegyük fel indirekt, hogy véges sok prímszám van, ezt a számot jelöljük n-nel, és a prímszámok legyenek; p(1)=2, p(2)=3, p(3)=5, ... p(n).

Most tegyük meg azt, hogy ezeket a prímszámokat összeszorozzuk, majd adjunk hozzá 1-et, tehát

2*3*5*...*p(n)+1

Értelemszerűen p(n)-ig bármelyik ismert prímszámmal elosztjuk ezt a számot, akkor a maradék 1 lesz. Az viszont nem lehet, hogy egy szám nem osztható prímszámmal, úgyhogy 3 lehetőség van; létezik egy p(k) prímszám, hogy

-vagy p(k)<p(n), vagyis a fenti szorzatból kimaradt (legalább) egy prím

-vagy p(n) < p(k) < 2*3*5*...*p(n)+1, tehát p(n) után létezik még prímszám, ami valódi osztója az összegnek

-vagy p(k) = 2*3*5*...*p(n)+1, vagyis a keletkezett szám prím.

Akárhogy is, biztos, hogy legalább n+1 prímszám létezik, ami több, mint n. Ezt bármilyen n pozitív egész értékre el tudjuk játszani, tehát az állítás, mely szerint véges sok prím van, hamis, így csak az lehet igaz, hogy végtelen sok van.

Kérdező; mi a legkisebb megoldása ennek az egyenlőtlenségnek;

x+1 > 5

?

Ugyanez igaz a te főkérdésedre is; az " A legkisebb szám" alatt valami pozitívat vélek érteni, így az

x>0

egyenlőtlenség legkisebb megoldását keressük. Kérdés, hogy van-e olyan.

De mondok jobbat, kérdező; bárhogyan választasz ki két különböző számot, az tuti biztos, hogy köztük végtelen sok szám van. Ennek bizonyítása sem túl bonyolult. Az már viszont tényleg meglepő, hogy a hasraütésszerűen mondott két számod között PONOTOSAN UGYANANNYI szám van, mint a valós számok halmazában összesen.

Hogy ez hogyan lehet? Van egy varázsszó, ami minden elfogadott logikát felborít. Ez a szó a VÉGTELEN. És azért pont ez, mert a mi csöködt agyunk a végeshez van szokva, a végtelen pedig nem véges.