A pi szám jegyei között véges szakaszok sem ismétlődnek?

Igen, bizonyos számsorok többször, akár végtelenszer is ismétlődhetnek a pi számjegyeiben.

Amire te gondolsz, az nem ez, hanem úgynevezett periodikus ismétlődés. Például a 0,123451234512345... számban az 12345 számsorozat követi önmagát, periodikusan, és nem úgy, hogy egyszer megjelenik, utána 100 jegy múlva megint, utána 526 jegy múlva, hanem szépen, katonásan.

Kikerestem neked:

[link]

Az szükségszerű, hogy legyen benne olyan véges hosszúságú számsor, ami ismétlődik. Az már korántsem biztos, hogy egy *adott* véges hosszúságú számsor biztosan ismétlődik is. Az, hogy a π számjegyei nem ismétlődnek, az azt jelenti, hogy nem jutunk el oda, hogy egy bizonyos ponttól ugyanaz az n darab számjegy ismétlődik ugyanolyan sorrendben.

Pl. 1/99 = 0,0101010101[01]…

Oké, toljuk el az egészet jobbra négy számjeggyel. Egyszerű, el kell osztani az egészet 10000-rel:

(1/99)=1/990000=0.000001010101[01]…

Most szúrjuk be elé a π első öt számjegyét, azaz a 3,1415-öt. Ez is egyszerű:

31415/10000 = 3,1415

Most adjuk össze a kettőt (nyilván közös nevezőre kell őket hozni):

31415/10000 + 1/990000 =

= 3110085/990000 + 1/990000 =

= 3110086/990000 = 3,141501010101[01]

Ez jelenti azt, hogy ez a szám végtelen szakaszos tizedes tört, mert az első négy tizedes jegy után a 01 szakasz ismétlődik a végtelenségig.

~ ~ ~

Az némi gondolkodás után belátható, hogy ha egy szám végtelen szakaszos tizedes tört alakban felírható, akkor az egy racionális szám lesz. Ha nem racionális, akkor viszont nem végtelen szakaszos tizedes tört. A π-ről meg bizonyítva lett, hogy irracionális szám, nem írható fel két egész hányadosaként, így biztos, hogy akárhány számjegytől is nézzük, nem ugyanazok a számjegysorok fognak ismétlődni benne onnantól.

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

Ebből óhatatlanul következik az, hogy vannak számsorok benne, amik végtelenszer megtalálhatóak benne. Viszont az nem következik, hogy minden számsor megtalálható benne.

Pl. vegyük következő irracionális számot:

0,30010004000010000050000009

(1 nulla, majd a π első számjegye, 2 nulla, majd a π 2. számjegye, 3 nulla, majd a π 3. számjegye stb…)

Ez is egy végtelen, nem szakaszos tizedes tört, ergo irracionális, és ha jól sejtem transzcendens szám lesz. Viszont – a megalkotás szabálya miatt – soha nem fordulnak elő benne a 11, 12, 13, …, 19, 21, 22, …, 29, 31… kétjegyű számok, mint számsorok. A 001 végtelenszer elfordul benne, meg a 007000 is, de a 11 egyszer sem.

~ ~ ~

Normális számok azok, amelyekben számjegyek a véletlenszerűen változnak. Ez pont azt jelenti, hogy minden „m” hosszúságú számsor azonos eséllyel fordul elő benne, minél hosszabb számjegysorát nézzük a π-nek, annál jobban közelít egymáshoz a különböző „m” hosszúságú számsorok tényleges előfordulásának száma. Ha a π normális szám, akkor bármely véges számsor megtalálható benne, méghozzá végtelen sokszor. Pl. végtelen sokszor megtalálható benne Shakespeare összes írása bináris formában. Vagy végtelen sokszor megtalálható benne egy a Gyűrűk ura című filmtrilógia 8k felbontásban, pixel pontosan. Meg úgy bármi ami, valaha volt, ma van és a jövőben lesz.

Viszont nincs bizonyítva, hogy a π normális szám lenne. Jelenleg a π-t 31 billió számjegy pontossággal ismerjük. Az végtelenhez képest – mint minden akármilyen nagy véges szám – még mindig elhanyagolhatóan kevés. Ez a 31 billió számjegy azt mutatja, mintha a π valóban normális szám lenne. Viszont bizonyítva ez nincs, semmi nem zárja ki, hogy az 273 trilliárd számjegy után ne kezdene valamilyen rejtélyes, eddig még ismeretlen összefüggés miatt hasonló alakot, mint fentebb írtam. Könnyen meglehet, hogy a π valamilyen rejtélyes okból sehol nem tartalmaz 52 milliárdnál több egymást követő 1-est, és akkor nyilván az 52,001 milliárd egyesből álló számsor nem található meg benne nemhogy végtelenszer, de egyszer sem.

Szóval erős okunk van hinni abban, hogy a π normális szám, de bizonyíték nincs rá.