Van-e valami egyszerű, de korrekt képlet a koncentrációra abban az esetben, ha egy anyag termelődik is és bomlik is egyszerre? (A termelés és a bomlás sebessége nem tér el nagyságrendekkel.)

Lehet abban valami, amit mondasz, kérdező. Nézzük akkor más bontásban;

Feltehetjük, hogy a gép azonos időegység alatt mindig ugyanannyi ózont termel (egyenes arányosság), ez azt jelenti, hogy 1 másodperc alatt 1/360 gramm ózon keletkezik. Látni fogjuk, hogy mire elérjük az 1 órát, egy mértani sorozatot fogunk kapni, a gondolatmenet pedig gyakorlatilag ugyanaz lesz, mint amit felvázoltam.

Az első másodpercben termelődik 1/360 gramm ózon, ezután még 3599 másodperc fog eltelni, tehát ebből a mennyiségből marad:

(1/360) * 0,5^(3599/3600)

A második mádospercben újabb 1/360 gramm ózon termelődik,

és 3598/3600 óra múlva vizsgáljuk, hogy mi maradt belőle:

(1/360) * 0,5^(3598/3600)

És így tovább, egészen az utolsó másodpercig, amikor 1/360 gramm ózon termelődik, de nincs ideje fogyni: (1/360) * 0,5^(0/3600) = 1/360

Ezek összege adja, hogy 1 óra múlva mennyi ózon lesz a szobában. Mivel mértani sorozatról van szó, ezért ki lehet számolni az összegképlettel, de most olyan csúnyák a számok, hogy inkább bízzuk ezt a feladatot a WolframAlphára:

[link]

Tehát kb. 7,21556 gramm ózon lesz 1 óra múlva a szobában.

Ha továbbfinomítjuk a számolást, vagyis másodperc helyett századmásodpercet választunk alapegységnek, akkor ezt kapjuk:

[link]

Vagyis ~7,21350 gramm ózonunk lesz. Nagyságrendileg nem lett kevesebb, és sejthetően más finomítással sem kapunk drasztikusan kevesebb eredményt, ezért akár ezzel a ~7,2 grammal is számolhatunk.

Viszont ha ismerünk olyan praktikákat, mint a határérték-számítás, akkor megtehetjük azt, hogy az alap időegységet úgy határozzuk meg, hogy a másodpercet osztogatjuk 10 egész kitevőjű hatványaival, így ezt a képletet tudjuk felírni:

[link]

Ha ebben az n-t végtelenhez tartatjuk, akkor az időegység 0-hoz tart. Eredményül egy szépnek mondható eredményt dob ki a program:

5/ln(2), tehát ennyi gramm ózon lesz az indítástól számított 1 óra múlva.

Így viszont egy kicsit változik a történet; egy sima mértani sorozatot kapunk, ahol az első tag 10 helyett 5/ln(2)=~7,2, a hányados 1/2, így újfent csak a mértani sorozat összegképletére van szükség:

a1*(q^n-1)/(q-1) =

(5/ln(2)) * (0,5^n-1)/(0,5-1) =...= 10/ln(2) * (1-0,5^n), itt a képlet megintcsak n óra elteltével adja meg az ózonmennyiséget.

Az 1 óra alatt kb. 7,2 gramm ózon kijött mindkettőnknek, ha pedig a végtelenben nézzük, akkor a 14,4 is kijön határértéknek (pontosabban 10/ln(2)=~14,427), tehát ennél az értéknél nem lesz több ózon, de tetszőleges mértékben megközelíti.

Látható, hogy csak a mértani sorozat (és a megfelelő szemlélet megtalálásának) felhasználásával is meg lehet oldani a feladatot.

(Igazság szerint nekem gyanús volt az 1. számolásom, mert akkor is felírtam másodpercre az összefüggéseket, de valahogy a két képlet nem passzolt, viszont a gondolatmenetben nem találtam a hibát, így azt gondoltam, csak elszámoltam.)