Van-e valami egyszerű, de korrekt képlet a koncentrációra abban az esetben, ha egy anyag termelődik is és bomlik is egyszerre? (A termelés és a bomlás sebessége nem tér el nagyságrendekkel.)

Van, de kis meggondolással megalkotni sem nehéz.

Emlékszel olyan feladatra, amikor betettünk bankba x összeget évi fix kamatra, aztán minden év végén beraktuk a bankszámlára a tőkét? Itt ugyanaz játszódik le annyi különbséggel, hogy itt nem kamatozás van, hanem amortizáció (negatív a kamatláb, -50%);

Ha az alaptőke A, a kamatláb p, ekkor a változás mértéke (1+p/100)=q, és minden évben (kamatjóváírás után) A-val növeljük a számlát, akkor az n-edik év (időegység) végén

A*q*(q^n-1)/(q-1) forint lesz a számlán.

Esetünkben nem pénzről van szó, de nem baj, elvégre akár le is lehetne fordítani pénzre és értékromlásra is (negatív p-vel).

Innen tovább tudsz haladni? Illetve a képlet levezetését is szívesen megmutatom, hogyha kéred.

Szia, szerintem az alábbi a megoldás:

(jelmagyarázat: t: idő (h); m(t): ózon tömege t időpillanatban (g))

m(t) = - 14,4 * e^(0,689t) + 14,4

a levezetést és egy grafikont, hogy milyen az ózon tömegének időbeli változása csatolok, túl lusta vagyom ide bepötyögni a levezetést. Remélem nem csináltam benne elvi hibát xd

levezetés: [link]

grafikon: [link]

Bocsi elírtam egy negatív előjelet kihagytam az exponenciálisból, így néz ki az eredmény:

m(t) = - 14,4 * e^(-0,689t) + 14,4

Az eredmény, hogy 14,4 g-ra áll be az ózonszint szerintem nagyságrendileg rendben van. Ha úgy működne az egész, hogy az óra elején instant keletkezne 10g ózon és az óra végén pedig feleződne, akkor arra állna be a folyamat, hogy van 10g ózon, óra elején keletkezik még 10g, vagyis lesz 20g, az óra végén pedig feleződik 10g-ra. És ez megy a végtelenségig. (csak egy hozzáfűzés az előző kommenthez, hogy a megoldás jónak tűnik így első ránézésre)

Ja, megint én xd végigspamelem a kérdésedet, bocsi...

1) megint elírtam a képletet xd ez a jó:

m(t) = - 14,4 * e^(-0,693t) + 14,4

2) Ha meg nagyon általános képletet szeretnél:

m(t) = - [1 / 0,693] * [keletkezési sebesség (g/h) / felezési idő (h)] * [exp^(-0,693t) - 1]

az egyensúlyi ózon mennyiség pedig: [1 / 0,693] * [keletkezési sebesség (g/h) / felezési idő (h)]

Felteszem, hogy ez valami kémiai számítás lehet. Én a kémiához nem értek (így az összefüggéseket sem ismerem), de a matematikához igen, így én abból indultam ki.

Az általam adott képletnek a direkt bizonyítása nem túl szép (bár kinek mi), én jobb szeretek egy másik megközelítést használni. Most ezt fogjuk használni, csak nem bankszámlákat nyitogatunk, hanem mindig veszünk egy új gépet.

Bekapcsoljuk a gépet, járatjuk 1 órán keresztül, ami termel 10 gramm ózont, de a fele el is bomlik, így 1 óra múlva 5 gramm ózonunk lesz. Tehát ezt írhatjuk fel:

Az 1. gépből maradt ózon mennyisége: 5 gramm.

Ezután kivágjuk a gépet a kukába, és veszünk egy másikat. Ugyanúgy bekapcsoljuk, 1 óra alatt megtermeli a 10 gramm ózont, aminek csak a fele lesz meg. Természetesen az 1. gépből származó ózon is tovább feleződik, így ezt tudjuk felírni:

Az 1. gépből maradt ózon mennyisége: 2,5 gramm

A 2. gépből maradt ózon mennyisége: 5 gramm

Ezután ismét kivágjuk a gépet a kukába, és veszünk egy harmadikat. 1 órán keresztül ez is termelgeti a maga kis ózonadagját, és az óra végére 5 gramm ózon marad. Természetesen, mint az előbb is, a korábbiak is feleződnek, tehát:

Az 1. gépből mardt ózon mennyisége: 1,25 gramm

A 2. gépből maradt ózon mennyisége: 2,5 gramm

A 3. gépből maradt ózon mennyisége: 5 gramm

Értelemszerűen annyi ózon van a szobában, amennyi ezek összege, tehát 3 óra után 5+2,5+1,25=8,75 gramm ózon van.

Innen már talán nem nehéz észrevenni, hogy az összeg mindig egy mértani sor lesz, ahol az első tag 5, a kvóciens pedig 1/2=0,5. A mértani sorozatnál tanult összegképlet szerint n óra elteltével

5*(0,5^n-1)/(0,5-1) = 10*(1-0,5^n) gramm ózon lesz a szobában. Ezek alapján ha n->végtelen, akkor 10 gramm ózon lesz a szobában. Mivel a függvény szigorúan monoton növő, ezért a 10-et alulról "súrolja", tehát mindig 10 grammnál kevesebb ózon lesz a szobában. Ha behelyettesítünk az általam adott

A*q*(q^n-1)/(q-1) képletbe, akkor ugyanezt fogjuk kapni.

Ahogyan azt már korábban megszokhattuk az ilyen felezési idős függvényeknél, ez is folytonos lesz, annak ellenére, hogy egész órára vezettük le, a lényeg csak annyi, hogy n helyére órában kell megadni az eltelt időt, tehát ha te azt akarod megtudni, hogy a kezdéstől 1 perc múlva mennyi ózon van, akkor n helyére 1/60-at kell írni.

Valószínűleg az eltérés ott van a két számításban, hogy a felezési idő -mint ahogyan azt te magad adtad meg- 1 óra, azonban az ózon felezési ideje a valóságban nem 1 óra, és a 4-es válaszoló ezt számolta ki (már ha jól értem a leírtakat). Ha viszont tudjuk, hogy mennyi a felezési ideje az ózonnak (vagy másik elemnek/izotópnak, ha arról van szó), akkor az általam adott képlet ott is használható.

Szia, megint elírtam az általános képletet xd

Szerintem ez az, bár most egszerűbb jelöléseket alkalmazok, mint, hogy végigírjam az egyenletben, hogy "keletkezési sebesség" stb.

Jelmagyarázat:

t (idő, h)

k (keletkezési sebesség, g/h)

f (felezési idő, h)

m(t) (t időpillanatban az ózon tömege, g)

m(t) = - 1,44 * k * f * { exp[(-0,693/f)*t] - 1 }

1 óra múlva

m(1) = - 1,44 * 10 g/h * 1 h * { exp[(-0,693/1)*1] - 1 }

= - 14,4 * [ exp(-0,693) - 1] = - 14,4 * [ 0,5 - 1] = 7,2 g

végtelen óra múlva

m(∞) = - 1,44 * 10 g/h * 1 h * { exp[(-0,693/1)*∞] - 1 }

= - 14,4 * [ exp(-∞) - 1] = - 14,4 * [0 - 1] = 14,4 g

Ez a 14,4g, nem egy óra múlva keletkezik, hanem ez az egyensúlyi érték, emiatt több, mint 10g. Csak trehány vagyok és nem olvastam végig a kérdésedet, hogy arra kérdeztél rá, hogy 1 óra múlva mennyi lesz.

A levezetéshez ismerni szükséges egy nagyon alapvető reakciókinetikát, a szeparálható differenciál egyenleteket. Ha ezeket tudod, akkor sikerülhet értelmezni az este 11 kor félálomban készített hektikus levezetésemet :D