Miért értelmezünk meredekséget függvény egy pontjában?

Pl. egy autó helyzetét – hogy milyen távolságra van a kiinduló várostól – le lehet írni függvényként. A távolságot ábrázoljuk az idő függvényében. A függvény egy adott pontján a meredekség a pillanatnyi sebességet fogja megadni. Ha így fordítjuk le a te kérdésedet, akkor tulajdonképpen azt kérdezed, hogy mi értelme van egy adott időPONTban beszélni a sebességről, mikor a sebesség az a megtett útnak és az ehhez szükséges időTARTAMnak az hányadosa. Valahogy mégis érzed, hogy van értelme egy pontban – időpontban – a sebességről, ami az út-idő függvényünk meredeksége az adott időpontban.

Nyilván itt nem egy pontnak van meredeksége, hanem a függvénynek, mint vonalnak van egy meredekségnek hívott tulajdonsága egy adott pontban, ami minden pontban más. A dolog némi elvonatkoztatást igényel, nagyon konyhanyelven leírva itt tulajdonképpen a ponthoz képest veszünk fel egy másik pontot, és a két pont által meghatározott egyenesnek lesz meredeksége. Ha folyamatosan csökkentjük ennek a másik pontnak a távolságát, akkor kvázi nullához fog tartani ez a távolság a kiszemelt pontunktól, a meredekség meg egy meghatározott értékhez fog tartani, és amilyen értékhez tart, az lesz az adott pontban a függvény meredeksége.

Kezdjük azzal, hogy van nekünk egy olyan síkidomunk, hogy kör, ennek minden pontjához tudunk érintőt húzni. Ezen talán nem veszünk össze.

Ha ez megvan, akkor arra sem nehéz rájönni, hogy egy adott görbe adott pontjához -hogyha bizonyos feltételek teljesülnek- rajzolható egy körív úgy, hogy a függvény görbéje és a körív egy belső pontja az adott pontban találkozik úgy, hogy a körív pontjai a találkozási pontot leszámítva mindig vagy felette vagy alatta vannak. Mivel a körhöz egyértelműen húzható érintő az adott pontba, ezért ezzel együtt a görbe pontjába futó érintőjét is megadtuk.

A probléma ott kezdődik, hogyha az adott ponthoz több körív is rajzolható, mint például a |x| függvény (0;0) pontja. Akkor ott nem értelmezzük az érintőt, így a meredekséget sem.

Másik megközelítés: mit látsz a képen?

[link]

Valószínűleg rögtön rávágod, hogy egy egyenest.

Valójában ez a cos(x) függvény görbéjének egy része, és az is kiolvasható a képből, hogy egy relatíve szűk értelmezési tartományról lett véve a kép. Mégis azt mondod, hogy egy egyenest látsz.

Ezzel egyáltalán nincs semmi baj. Sőt, pont az a jó, hogy így látod, mert akkor legalább elhiszed azt, hogy ha veszünk egy bármilyen görbét, és azt egy "nagyon szűk" értelmezési tartományon vizsgáljuk, akkor gyakorlatilag egy egyenessel/szakasszal van dolgunk, egyenesnek pedig tudjuk értelmezni a meredekségét.

Ha visszaemlékszel, ezzel a szemlélettel már találkoztunk korábban, például a körmozgás vizsgálatánál; ha veszünk egy nagyon-nagyon-nagyon-...-nagyon kis szögelfordulást, akkor a körív hossza vehető ugyanakkorának, mint a körív két végponját összekötő húr, így egy háromszöggel kell számolnunk, amiből egyszerűbben kijönnek az összefüggések. Gyakorlatilag egy-az-egyban ugyanaz a helyzet itt is.

#2, Sü jó példája... csapatsz 240-el az autópályán és abban a pillanatban lekap a trafipax.

Hogy lehetséges ez? :) abban az időpillanatban éppen hány kilómétert tettél meg?

2*Sü megadta a jó hétköznapi példával értelmezhető magyarázatot, #6-ban meg szerintem a matematikai lényeg ott van.

Egy folytonos függvénynél egy kiválasztott pont mellett jobbra-balra végtelen kis intervallumban is végtelen sok pont van, szóval az egyetlen pontban vett meredekség is végtelenül sok függvénypont, függvénygörbe meredeksége, nem egyetlen ponté.

A függvényanalízis rutinszerű használatához kicsit át kell értelmeznünk, pontosítani kell a végtelenről és a nulláról alkotott hétköznapi felfogásunkat.

Ezt úgy kell elképzelni, hogy a függvény egy adott pontjához egyre közelebb veszel másik pontokat, és összekötöd ezeket a kiválasztott ponttal, így egyeneseket kapsz. Bizonyos feltételek teljesülése esetén ezek egyre közelebb lesznek egy adott egyeneshez. Ennek az egyenesnek a meredeksége a függvénygörbe meredeksége. Pl. az x^2 függvénynél a 2x függvény adja meg ezt az értéket. Pl. a (3, 9) pontban 2x3, vagyis 6 meredekségű érintőt lehet húzni ehhez a görbéhez.

Ezt a 2x függvényt egyébként derivált függvénynek nevezik, és egy csomó mindenre jó, az eredeti függvény vizsgálatához nagyon hasznos. Pl. ahol pozitív az értéke, ott nő az eredeti függvény, ahol negatív, ott csökken, ahol 0, ott lehet, hogy minimuma vagy maximuma van.

A 6-os számú válaszoló adta meg a legtömörebb választ, amivel egyben rámutatott a meredekség (differenciálhatóság) fogalmának mibenlétére.

Ez ugyanis egy határérték-képzéssel kapott fogalom, amelynek lényege, hogy a határérték-képzés közben kvázi "letapogatjuk" az adott pont környezetét, így a határérték, azaz a meredekség ettől a környezettől fog függeni, és nem csak az adott ponttól. Ha az adott pont környezetében a függvény másképp viselkedik, másképp görbül, akkor a meredeksége is más lesz.

Egy gyönyörű és nagyon hatékony, ma már alapvető matematikai fogalomról van szó, amely elég szemléletes is, hogy középiskolában is lehessen tanítani, és jól jelzi egy új korszak kezdetét is a matematikában. Ezzel ugyanis lehetővé vált az időben (vagy más mennyiségek függvényében) folytonosan változó mennyiségek leírása is, és ebből idővel számos nagy területe fejlődött ki a matematikának.

#6 válasza tényleg fontos, egy függvény deriváltjához (a meredekséghez) fontos, hogy folytonos legyen, hisz egy ponthoz végtelen sok "érintőt" tudsz húzni.

ezért például, ha két fv. bezárt szögét kell meghatározni, ha az egyik végpontja pont metszi a másikat (pl f(x)=gyök x; g(x)=x^2), akkor ott - meredekség híjján - ezt se tudod értelmezni