Ha végtelen sok transzcendens számot szorzunk össze (és a szorzat konvergens), akkor kaphatunk algebrai számot?

igen, csak ügyesen kell megválasztani a számokat.

mondjuk pl. n= 1... +végtelen

az elemek pedig:

A(n) = e^[1/(n-(n mod 2))*(-1)^(n mod 2)]

Természetesen; veszel végtelen sok transzcendens számot, majd veszed ennek a végtelen sok transzcendens számnak a reciprokát (amik nyilván szintén transzcendensek). Ha összeereszted őket, akkor láss csodát, 1-et kapsz eredményül.

Volt már vita korábban abból, hogy megszámlálhatatlanul végtelen sok számnak egyáltalán lehet-e definiálni a szorzatát/összegét/..., így ez csak megszámlálhatóan végtelen darab számra igaz biztosan.

#2> Természetesen; veszel végtelen sok transzcendens számot, majd veszed ennek a végtelen sok transzcendens számnak a reciprokát (amik nyilván szintén transzcendensek). Ha összeereszted őket, akkor láss csodát, 1-et kapsz eredményül.

Sajnos ez nem jó. Első blikkre ötletes felvetés, de az a gond ezzel, hogy nem tudod konvergens sorba fejteni a kifejezést.

Vegyük a legegyszerűbb példát π-vel.

(π/1) * (1/π) * (π/1) * (1/π) * (π/1) * (1/π) * …

Ezt ha úgy csoportosítom, akkor valóban 1-ek szorzódnak össze:

∏ [(π/1)*(1/π)] = [(π/1) * (1/π)] * [(π/1) * (1/π)] * [(π/1) * (1/π)] * … = 1 * 1 * 1 * 1 * … = 1

De ha máshogy csoportosítom, akkor máris más a helyzet. Az eredeti kifejezés felírható így is:

(π/1) * ∏ [(1/π)*(π/1)] = (π/1) * [(1/π)*(π/1)] * [(1/π)*(π/1)] * [(1/π)*(π/1)] * … = π * 1 * 1 * 1 * … = π * 1 = π

A szorzás, összeadás kétoperandusú művelet. Nyilván ki lehet terjeszteni több operandusra is, de az visszavezethető kétoperandusú műveletek egymásutáni elvégzésére. Véges operandus esetén bár a szorzás is, az összeadás is kommutatív, illetve asszociatív, végtelen sorok összege, szorzatat esetén viszont nem feltétlenül az. Ha a végtelen sor nem konvergens, akkor a szorzat, illetve az összeg operandusai nem cserélhetőek fel és nem csoportosíthatóak tetszés szerint.

~ ~ ~

> Volt már vita korábban abból, hogy megszámlálhatatlanul végtelen sok számnak egyáltalán lehet-e definiálni a szorzatát/összegét/

Hát mivel a szorzat is, az összeg is nem más, mint operandusok és a közöttük végzett műveletek egymásutánija, így minden operandusnak és műveletnek megvan a saját „sorszáma”. Ahhoz, hogy szorzatként, összegként fel tudd írni egy megszámlálhatatlanul végtelen halmaz elemeit, ahhoz sorba kellene őket venni, kvázi bijektív leképezést kellene alkotni a halmaz és a természetes számok között. A megszámlálhatatlanul végtelen halmaz pont attól az, hogy nem képezhető ilyen bijektív leképezés a természetes számokkal, így aligha lehetne felírni a szorzatot, összeget. Aztán persze nem tudom, hogy nincs-e pl. valamilyen geometriai megközelítésben értelmezve egy kontinuum számosságú halmaz összege, szorzata, mindenesetre én a szorzásnak, összeadásnak ilyen jellegű kiterjesztésével nem találkoztam.

> így ez csak megszámlálhatóan végtelen darab számra igaz biztosan.

Nemrég a kérdező egy másik kérdésénél kicsit taglaltam ezt is. Lásd: https://www.gyakorikerdesek.hu/tudomanyok__termeszettudomany.. (9. válasz)

Tehát még megszámolhatóan végtelen számosságú halmaz szorzata, összege sem létezik szigorúan algebrai értelemben. Analízissel tudunk határértéket számolni, ami nagyon hasznos, de ha nagyon szigorúan vesszük, akkor ez a határérték nem maga a szorzat, csak annak egy megközelítése. Mikor azt mondjuk, hogy

∑{i=1…∞} a[i]

akkor tulajdonképpen mi csak ezt tudjuk kezelni:

lim{n→∞} ∑{i=1…n} a[i]

#4 Igen, kettes pongyolán fogalmazott, de ettől még könnyen alkotható olyan példa amin működik, pl. (1 + π/n) és annak reciprokai. Ezt csoportosíthatod akárhogy, mindig 1 lesz a végtelen szorzat.

Vagy ennél is egyszerűbb a π/n sorozat, melynek végtelen produktuma nulla, ami a legalapvetőbb algebrai szám. A kérdező kérdését ez megválaszolja.

> …Ezt csoportosíthatod akárhogy, mindig 1 lesz a végtelen szorzat.

Lásd az előző válaszomat:

(π/1) * (1/π) * (π/1) * (1/π) * (π/1) * (1/π) * … =

= (π/1) * [(1/π)*(π/1)] * [(1/π)*(π/1)] * [(1/π)*(π/1)] * … =

= π * 1 * 1 * 1 * … = π * 1 = π

Tehát nem. Tudom úgy értelmezni, hogy nem 1, hanem π legyen az eredmény. Azért nem, mert itt a produktum divergens. A tagok számának növekedésétől függetlenül mindig 1 és π között oszcillál az eredmény.

Az első válaszoló példája sokkal jobb, mert ott a produktum konvergens.