Milyen következményei vannak, ha a kontinuum hipotézis igaz illetve ha hamis?

22:32 Ilyen jellegű semmit mondó válaszok nem érdekelnek.

Ez a triviális :

"A kontinuumhipotézist Hilbert olyan súlyú kérdésnek ítélte, hogy nevezetes problémái közül az első helyen említette (Hilbert-problémák). A megoldást Kurt Gödel és Paul Cohen szolgáltatta, de nem várt eredményre jutottak. Gödel 1940-ben (a Gödel-féle konstruálható halmazok segítségével) bebizonyította, hogy a kontinuumhipotézis nem cáfolható, míg Cohen 1963-ban (a forszolás általa kifejlesztett módszerével) pedig belátta, hogy nem bizonyítható a Zermelo–Fraenkel axiómarendszerben. A kettő együtt azt jelenti, hogy az állítás konzisztens és független, vagyis az állítás hozzávétele sem okoz ellentmondást, és a tagadás hozzávétele sem."

[link]

Részleteibe érdekelne, igaz illetve hamis esetben.

@laikus222

Köszönöm a válaszodat. Így van bizonyítani nem lehet se cáfolni, de axiómaként hozzá lehet venni hogy létezik illetve hogy nem létezik (a kettő közül egyszerre csak az egyiket). Konzisztens halmazelmélet marad mindkét esetben. Ezt is beleértve meg ezen felül is amit eddig is tudtam a teljesség igénye nélkül az hogy egy n elemű halmaz hatványhalmaza 2^n elemű halmaz lesz és mindig nagyobb számosságú lesz még végtelen halmazok esetében is. Megszámlálhatóan végtelen halmaz pl a természetes számok halmaza melynek rendje א0 számosság ennek hatványhalmazának számossága megegyezik valós számok számosságával mely א1 végtelen mely egy magasabb rendű végtelen. Általánosított kontinuum hipotézis az hogy egy λ rendű végtelen halmaz rákövetkező számossága 2^λ végtelen számosság lesz. Ha λ= (n)א akkor 2^λ számosság (n+1)א számosság lesz. Ha nem igaz a kontinuum hipotézis akkor a 2^λ számosság sok féle képpen állhat elő nem csak λ számosságú halmaz hatványhalmazaként. Na de ez meg hogy??**** Ha igaz a kontinuum hipotézis akkor sorban egymás után a végtelen számosságok 0א3 א2 א1 א ... és így tovább. Ha különböző rendű végtelen (akár diszjunkt) halmazokat úniózunk akkor az úniójuk ezek közül a legmagasabb rendű végtelen számosság lesz. A végtelenség rendje ahogy már írtam 0א3 א2 א1 א ... egy része megfeletethető a természetes számoknak, ezekre igazak a Peano axiómák. A különbéség az, hogy olyan sok fajta különböző rendű végtelen van hogy nem elég rá a természetes számok "mennyisége". Ennek követmezménye hogy ωא számosság lesz a legkisebb olyan számosság az amely minden (n)א számosságnál nagyobb ahol n befutja a természetes számok halmazát. Ennek nincs megelőző számossága, hiszen akkor lehetne ha létezne legnagyobb természetes szám

, ezért ez limesz számosság. A ωא rákövetkező számossága (ω+1)א ennek rákövetkezője (ω+2)א és így tovább. A ωא követő legkisebb limesz számosság (2ω)א . Rákövetkezője a (2ω+1)א. Ezt követő limesz számosság a (3ω)א és így tovább el lehet vele szórakozni. Ezen számosságok számossága א0 . A legkisebb akkora számosság melyeknél kisebb végtelen számosságok rendjének halmaza א1 az a (ω1)א számosság lesz. Egy végtelen számosság vagy 0א (ami a legkisebb végtelen számosság) vagy rákövetkező számosság vagy limesz számosság, na de nem megyek bele de annyira brutálisan végtelen sokfajta rendű végtelen van hogy a rendek nem alkotnak halmazt, kvázi túl nagy ahhoz hogy halmazt alkossanak, egyébként ellentmondásba ütközik ha feltesszük hogy halmazt alkotnak.

****Ez a kérdésem. A másik kérdésem ami lehet hogy megválaszolná az előzőt, hogy akkor hogy vannak ezek a rákövetkező rendű végtelen dolgok ha nem igaz a kontinuum hipotézis?