Foghatom én a kezemben egy végtelen hosszú kötélnek mind a két végét?

Ha a két vége "közel", vagyis véges távolságban van egymástól (mint például az 1/|x| függvény esetén a [-1;1] intervallumon), akkor olyan közel lehet őket vinni, hogy meg tudd fogni a két végét. Ha viszont a két végpont végtelen távolságra van egymástól (mint az egyenesek két "vége", tehát akár egy konstansfüggvénnyel is lehetne jellemezni), akkor nem kivitelezhető.

Érdekesség, hogy ha az egyik lehetőség fennáll, akkor a másik lehetőséget nem lehet létrehozni, vagyis a végtelenből nem lehet "előhozni" a két végét, vagy akár az egyiket, ha pedig véges közelségben vannak, akkor nem lehet a végtelenbe "elküldeni".

Pont azért írta az 1/|x| függvényt, mert annak van határértéke, ami +végtelen, tehát a kötél végtelenben lévő pontja x=0-nál lesz.

„Ha végtelen hosszú, akkor nincs két vége.”

Ez nem igaz. Mint ahogyan a kérdező is utalt rá, a félegyenes is végtelen hosszú, mégis van egy végpontja.

Igaz, a „két” szó valahogy elkerülte a figyelmem.

De attól még, hogy végtelen hosszú, lehet neki két vége. Például matematikai értelemben az egyenes tekinthető egy végtelen sugarú körként (elfajult kör), ami végtelen hosszú. Ha ezt elvágjuk egy helyen, attól még a kör összefüggő marad, csak végtelen távolságban tőlünk. Tehát gyakorlatilag két félegyenes is lehet a kötél két oldala.

Vagy legyen egy harmadik példa; felfoghatjuk a kötél két végét úgy, mint a cos(x) és -cos(x) függvényeket a nemnegatív valós számok halmazán. Ennek a kötélnek a két oldala végtelen sok helyen fedi egymást, ebből fakadóan muszáj neki végtelen hosszúnak lennie.

"matematikai értelemben az egyenes tekinthető egy végtelen sugarú körként"

Határértékben igen, de valós értékben soha nem lesz egyenes. És ez azért van, mert a végtelen az nem egy szám, nem létezik végtelen sugarú kör, vagy végtelen oldalú sokszög, végtelen méter hosszú kötél, stb.

"1/|x| ... a kötél végtelenben lévő pontja x=0-nál lesz."

A fentiek miatt ez sem igaz. Nem szabad keverni a függvény értékét a határértékkel. Az "x tart nullához" sem azonos az x=0 -val.

"nem létezik [...] végtelen méter hosszú kötél"

Szóval a való élet szempontjából nincs értelme a kérdésnek, tehát akkor nincs is miről beszélnünk.

Ha pedig gondolatkísérletként tekintünk rá, akkor a matematikában használt eszközöket kell használnunk (elvégre csak matematikailag tudjuk értelmezni magát a problémát), úgy viszont van megoldása, amit meg is adtam, bármennyire nem akarjátok elhinni.

"Nem szabad keverni a függvény értékét a határértékkel. Az "x tart nullához" sem azonos az x=0 -val."

Senki nem keverte.

Érthető okokból, hogyha a végtelen hosszú kötél két vége a kezünkben van, akkor a függvényként értelmezett kötélnek valahogyan kell, hogy legyen legalább 1 pontja a végtelenben. Ha véges sok ilyen pontja van, akkor azt csak úgy tudjuk elérni, hogy a függvény egy/több helyen nem értelmezhető, de határértéke az adott pont(ok)ban végtelen (vagy -végtelen), elvégre ha minden függvényérték véges lenne, akkor a görbe hossza is véges lenne, így meg nem lehetne végtelen hosszú.

Ha végtelen sok pontja van a végtelenben, akkor arra a két koszinusszal felírt függvény is jó megoldás. Ráadásul ennek a végtelenben nincs is határértéke, mégis leírható vele egy végtelen hosszú, folytonos kötél (elvégre tetszőleges pontjában folytonos).

Ennél egyébként még egyszerűbb megoldás az, hogyha egy félbe hajtott végtelen hosszú kötelünk van, vagyis két félegyenes egymásra téve. Sőt, meggondolhatjuk, hogy ha elkezdjük mozgatni a két végét a kötélnek, akkor az 1/|x| függvény kirakható belőle. A koszinuszos már nem annyira könnyen, elvégre ott végtelen sok találkozási pont van, tehát végtelen sokszor kellene egymásra hajtani a kötél két végét.