Mi a neve annak a kifejezésnek, amikor valaki megkérdőjelezhetetlen tényként vesz alapul valamit?

Dogma? (Megkérdőjelezhetetlen állítás.)

Argumentum ad consequentiam / argumentum ad populum (közvéleményre, népszerűségre való hivatkozás)? (A többség így tudja.)

Ignoratio elenchi (lényegtelen konklúzió)? (Az, hogy a Brawndo elektrolitot tartalmaz az nincs összefüggésben azzal, hogy a növények Brawndot „akarnak”-e.)

Esetleg még ha nagyon akarjuk az axióma is lehet (triviálisan igaznak tekintett, de nem bizonyított állítás).

Az axióma tényleg jó, de az azért elég szigorúan tudományos, szóval azért axiómának olyan dolgokat szokás felvenni, amit azért vezsünk bizonyítatlanul alapnak, mert bizonyíthatatlan, a rá épített rendszer mégis jó lesz.

Jelen esetben a dogma tényleg jobb, hiszen olyan dolgot vesz megkérdőjelezhetetlen alapigazságnak, aminek a tévessége amúgy bizonyítható lenne.

Annyi, hogy ez valójában nem igazán axióma. Axióma az, amit a tapasztalatain alapján igaznak vélünk, ha az ellenkezőjét állítanánk, az racionálisan belegondolva abszurd lenne. Pl. az Euklideszi axiómák között ilyenek vannak, hogy:

- Ha egyenlőkhöz egyenlőket adunk hozzá, akkor egyenlőket kapunk.

- Ugyanazon dolog kétszeresei egyenlők egymással.

- Az egész nagyobb, mint a része.

Ezek nem bizonyíthatóak a jellegüknél fogva. De azt feltételezni, hogy ha egyenlő dolgokhoz egyenlőket adunk hozzá, akkor nem egyenlőket kapunk, abszurd, irracionális kijelentésnek tűnik. Vagy azt feltételezni, hogy az egész kisebb, mint annak a része, szintén abszurd, el sem tudjuk képzelni ezt az ellentétes felvetést.

Az, hogy Brawndo elektrolitot tartalmaz? Hát a fene tudja. Vagy igen, vagy nem. El lehet képzelni, hogy nem is tartalmaz elektrolitet. De a dolog megvizsgálható, ez nem egy bizonyíthatatlan módon igaznak tételezendő állítás. Az a rejtett állítás, hogy a növényeknek elektrolitra van szükségük az igaz? Megint a fene tudja. Lehet, hogy jót tesz nekik. Lehet, hogy nem. Ezt is meg kellene vizsgálni, és a dolog is megvizsgálható.

Nyilván az axiómának az a jellegzetessége, hogy racionálisan gondolkodva tartjuk őket igaznak. A filmben meg hát meglehetősen híján voltak a racionalitásnak ugye…

Ez inkább dogma, közvélekedés, mintsem axióma.

Bolyai Jánosnak az az abszurd ötlete támadt, hogy az euklideszi geometria V. axiómáját megfordította (párhuzamosok nem találkoznak). És létrehozta a nem euklideszi geometriát (méghozzá elég volt neki ehhez az apja könyvében egy appendix), amely azóta számos területen tarol.

Axióma az, amit a priori, tehát magától értetődő módon ismerünk, bizonyítás nemcsak azért nem kell, mert lehetetlen (nehézkes), hanem mert mindenki számára nyilvánvaló. Ha ebből létre tudunk hozni egy ellentmondásmentes és igaz rendszert, akkor az axiómát (utólag) éppen e tény bizonyítja. Az axiómának nem tulajdonsága, hogy az ellenkezője nem lehet igaz, pusztán arról van szó, hogy azzal nehéz új rendszert létrehozni. De ha valakinek sikerül, attól még mindkettőnek helye les za világban (hasznos).

No igen. Itt válik érdekessé a dolog. Mert hogy a Bolyai által vizsgált állítás nem axióma, hanem posztulátum volt. Az axióma az, amit nyilvánvalónak veszünk. A posztulátum meg az, amit követelményként támasztunk. Az axióma az, amire az ember azt mondja, hogy „nem tudom ugyan bizonyítani, de gondolom számodra is vitathatatlan, hogy…”. A posztulátum meg inkább arról szól, hogy „Vegyünk egy olyan rendszer, amiben […]. Ha ilyen a rendszer, akkor abból az következik, hogy…”. A posztulátum is megkérdőjelezetlen állítás, csak éppen máshogy. A posztulátummal ellentétes rendszert könnyebb elképzelni, de a valóságról alkotott képünk az, ami miatt inkább mégsem olyan rendszert képzelünk el.

Ma már kevésbé különül el a kettő, nem annyira szoktuk a posztulátumot és az axiómát szétválasztani, mert mindkettő alapnak tekintett kiindulópont, és számos esetben derült ki egy-egy posztulátumról, hogy az nem a mi világunkat írtja le, és számos axiómáról derült ki időközben, hogy van vele némi probléma.

Hogy mennyire offtopic kitérő, azért tegyük hozzá, hogy az euklideszi posztukátumok között volt egy, ami egy kicsit kilógott a sorból. Olyan nem annyira magától értődő posztulátum volt ez, nem olyan tiszta és világos, mint a többi. Ezért volt némi problémája a matematikával foglalkozóknak vele. Előbb megpróbálták levezetni a többi axiómából, posztulátumból, hátha valahogy ez azokból következik, és akkor nem axiómaként kell kezelni, hanem egy bizonyítható állításként. Nem ment… Aztán megpróbálták valami azzal ekvivalens axiómával (posztulátummal) helyettesíteni, hátha van valami tisztább, világosabb alternatívája. Ez sem nagyon ment… Bolyaiék egy harmadik utat választottak – ami az elsőnek egy válfaja –, úgy próbálták bizonyítani az állítás helyességét, hogy megpróbálták az ellentétét felvetni, és ott bizonyítani a rendszer ellentmondásosságát.

Csak ugye nem ez történt, kiderült, hogy ha az ellenkezőjét tételezzük fel, mint amit Eukleidész megfogalmazott, akkor is egy ellentmondásmentes, konzisztens geometriát kapunk. Tehát ők nem egy új geometriát akartak létrehozni, a cél nem ez volt, hanem pont az volt a cél, hogy bizonyítsák, az axióma megfordításával nem lehet konzisztens geometriát létrehozni. Mégis sikerüt…

Akkor melyik a helyes geometria? Mindkettő az. Itt már a kérdés nem a matematika tárgykörébe tartozik, hanem a fizikáéba, hogy eldöntse, a mi világunkat melyik geometria írja le. Sokáig úgy tűnt, hogy az euklideszi, de aztán kiderült, hogy mégsem. A világunk egyfajta geometria szerint működik. A többi sem helytelen, csak éppen nem egy fiktív világ geometriája.

Egyébként ez volt az első nagy töréspont a matematika történetében, mert kiderült, hogy a matematika nem feltétlenül valós, létező dolgok absztrahálását jelenti, lehet olyan matematikát is alkotni, ami nem a valós világ absztrahálásából jön.

A fizikában aztán a fő fordulópontok sokszor ahhoz kötődtek, hogy egy-egy axiómáról kiderült, hogy nem megkérdőjelezhetetlenek. Pl. a kvantumfizikai, vagy a relativitáselmélet azért is nehezen emészthető, mert azok valamilyen addig magától értődő axiómának a megkérdőjelezését hozták, így nehéz egy olyan rendszert megérteni, amiben a naiv elképzelésünk számára abszurd dolgot kell elképzelni, hiába a bizonyítékok milliói arra, hogy az abszurdnak tűnő elképzelés a valóság, a mi naiv, magától értődő elképzelésünk az, ami hibás.

Valójában nem vált világossá, mi a bejegyzés célja. Pontosítás? Valamely kijelentés vitatása? Kiegészítés?

Az axióma értelmezésébe jobban nem mennék bele. Sokan sokféleképpen teszik, minden bonyolultabb fogalommal így van. Sokféle szemléletű ember létezik. nekem megfelel, ha a párhuzamossági axiómát Hajós György axiómaként aposztrofálja. Igen, a párhuzamosság egyfelől magától értetődő (annak definíciója alapján), másfelől mégse, mertazért a végtelen kevés ember számára triviális.

Ami a helyességet illeti, az megint egy kényes ügy. A valóságot az elmélettel egybevágónak tekinteni valami olyasmi, hogy egy csomó tapasztalatunk (mérésük) van, ami egybevág elmélettel és gyakorlattal. A mi világunkat pedig, hogy melyik geometria írja le, az attól függ. Azért volt jó sokáig az euklideszi, mert abban a makrovilágban az elmélet és a tapasztalat egyezett. Amikor jött a mikrovilág megismerése, meg a gravitáció mérhetősége, gondok keletkeztek. Ott! És arra már kellett más geometria. Szóval melyik a helytelen? Azt gondolom, egyik se. Nincs fiktív világ, viszont van értelmezési tartomány. A makrovilág hétköznapjaiban az euklideszi geometria tökéletesen megfelelő. Ha mélyebb régiókba evezünk, akkor már kell a másik. Sőt sok másik. Nem hinném, hogy a valós világ olyan absztrahálását tudja a matematika, amely kivezet abból. Inkább arról lehet szó, előbb jön egy ismeret, és később annak gyakorlati megismerése.

A fizikában is inkább arról volt szó, hogy számos axióma akkor keletkezett, mikor úgy gondoltuk, a modell mindenható. Mindig és mindenütt érvényes. Azóta tudjuk, hogy nem, ezért ott is szívesebben használják az értelemzési tartomány meghatározást. Egy csomó törvény, amit az érdeklődő hétköznapi ember napi szinten tapasztalhat, érvényes a világunkban. A kvantumok világában nem ott más szabályok kellenek. Ezek nehezen emészthetők, mert a hétköznapi ember számára nem triviális, hogy az is értelmes, ami nem megtapasztalható, csak az elvont. Sok ismeret kell ahhoz , hogy elméleti szinten elhiggyünk valamit, ami nem érzékelhető. Rengetegen futnak bele itt e fórumon is e problémába. Nehéz valamit megmagyarázni, amihez elméleti ismeret nincs, gyakorlati tapaszlat meg nem lehetséges. Mert minden „magától értetődő” elképzelés a tapasztalaton alapul. A tapasztalat padig vagy gyakorlati, vagy elvont. Utóbbi cska sok tudással lehetséges. Megértem, ha nehéz ezt elfogadni.