Bizonyitsd be, hogy az a^4+b^4=c^4+3 kifejezésnek nincs megoldása az egész számok körében!?

a^4+b^4 ~= 0 vagy 1 vagy 2 mod 8

míg c^4+3 ~= 3 vagy 4 mod 8

így nem létezik az egész számok körében olyan a,b,c számhármas, ami megoldása lehetne az egyenletnek.

Első válaszoló már leírta a megoldást, csak részletezem:

mod 8= 8al osztva mennyi a maradék. Egy szám negyedik hatványa nyolccal osztva 0 vagy 1 maradékot ad. Könnyen belátható, hogy ha 2 ilyen számot összeadsz akkor csak 0, 1, vagy 2 lehet a maradék, míg a másik oldalon 3-at hozzáadsz így ott 3 vagy 4 lesz a maradék. Mivel a két oldalt 8al elosztva a maradékok halmazának nincs metszete ezért nincs megoldása az egész számok között.