Melyikböl van több? Tört vagy egész számból?

A "végtelen" egy eléggé megfoghatatlan, filozófiai kifejezés. De a mérnöki gyakorlat képes élni egy olyan fogalommal, hogy normálás. Ez lényegében az, hogy egy adott, ZÁRT intervallumon vizsgálunk valamit. Így ha mondjuk veszünk egy 0-tól 1-ig tartó skálát, úgy összesen 2 egész szám van, viszont törtből végtelen sok (tetszőleges kis intervallumokra tudunk tovább osztani két egész között [az elvi kifejtésben]). Így ha ezt kiterjesztjük a teljes számegyenesre, a "tört számok végtelene" nagyobb, mint az "egész számok végtelene".

Másik megközelítés: Bármely egész szám felírható törtszámként (1-es nevezővel), de nem minden tört szám írható fel egész számként (pl. az egyketted). Ergó a tört számok halmaza nagyobb az egészekénél, így elemszáma nagyobb.

Az első válasz logikusnak tűnik, azonban matematikai értelemben hamis.

Vegyünk egy másik problémát, ami picit segít megérteni a végteleneket.

Van két szakasz, egy hosszabb és egy rövidebb. Melyik áll több pontból? Ránézésre a hosszabb, hisz az tartalmazza a rövidebb szakaszt és még valamennyit, így pontjainak száma a rövid szakasz pontjainak száma, plusz még valami.

A gond az, hogy bármekkora szakasznak végtelen pontja van, így ezek az okfejtések értelmetlenné válnak.

Ugyanis: rajzold a két szakaszt szimmetrikusan, párhuzamosan egymás fölé. (máshogy is lehetne rajzolni, de így a legkönnyebb átlátni). Kösd össze a szakaszok azonos oldali végpontjait, és hosszabbítsd meg ezeket az összekötőket úgy, hogy egy pontban messék egymást. Legyen ez a pont P. Így lesz egy háromszöged, benne két párhuzamos szakasszal.

Ha ebben az elrendezésben a hosszabbik szakasz bármely pontját kiválasztod, és összekötöd a P ponttal, az a rövidebb szakaszból is ki fog jelölni egy pontot. Nem tudsz olyan pontot választani a hosszabban, aminek ne lenne párja a rövidebben.

Azaz a két szakasz pontjainak száma EGYENLŐ.

A végtelen számosság vizsgálatakor két értéket használunk: megszámlálható és megszámlálhatatlan végtelen. Megszámlálhatóak mindazok a halmazelemek, melyek egyértelmű megfeleltetésbe hozhatóak az egész számokkal, azaz leképezhetőek rájuk. A megszámlálható végtelen számosságú halmazok számosságát egyenlőnek tekintjük.

Sajnos a leképezéséket fejből nem tudom, de megszámlálhatóan végtelenek mind a racionális számok, mind az egész számok is, így ezek számosságát egyenlőnek tekintjük.

Így van, ahogy a második válaszoló írja. A leképezés sem bonyolult, írjuk fel a racionális törteket így:

1/1, 1/2, 1/3, 1/4...

2/1, 2/2, 2/3, 2/4...

3/1, 3/2, 3/3, 3/4...

4/1, 4/2, 4/3, 4/4...

.

.

.

Kössük össze ezeket egy folytonos hullámvonallal ebben a sorrendben: 1/1, 1/2, 2/1, 3/1, 2/2, 1/3, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1...

Majd ebben a sorrendben számozzuk meg őket.

Tehát minden racionális törthöz hozzá tudunk rendelni egy egész számot, vagyis a kettőből ugyanannyi van.

Irracionális számokkal ugyanezt nem lehet megtenni, ez is bebizonyítható.